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Integral: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:40 Mi 11.07.2012
Autor: TommyAngelo

Aufgabe
Es sei [mm] \alpha>0 [/mm] und [mm] J_\alpha [/mm] := [mm] \int_0^\infty e^{ix^\alpha}dx [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] J_\alpha [/mm] als uneigentliches Riemann-Integral existiert genau dann, wenn [mm] \alpha [/mm] > 1.

Als Tipp steht noch dabei, dass man partiell integrieren oder substituieren kann.

Wenn ich [mm] t:=x^\alpha [/mm] substituiere, komme ich auf Folgendes:

[mm] J_\alpha [/mm] = [mm] \int_0^\infty \frac1\alpha t^{\frac1\alpha -1} e^{it}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(it)^k}{k!}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{i^kt^{k+\frac1\alpha -1}}{k!}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \left[\frac{t^{k+\frac1\alpha}}{k+\frac1\alpha}\right]_0^\infty [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!(\alpha k +1)} t^k [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k}}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k+1}}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1} \right) [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k}+i \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1} [/mm]

1. Darf ich diese Schritte alle machen, insbesondere die Vertauschung von Summe und Integral?

2. Jetzt habe ich das ganze Zeug in Real- und Imaginärteil aufgespaltet, aber weiter komme ich nicht.

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Do 12.07.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Es sei [mm]\alpha>0[/mm] und [mm]J_\alpha[/mm] := [mm]\int_0^\infty e^{ix^\alpha}dx[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]J_\alpha[/mm] als uneigentliches
> Riemann-Integral existiert genau dann, wenn [mm]\alpha[/mm] > 1.
>  Als Tipp steht noch dabei, dass man partiell integrieren
> oder substituieren kann.
>  
> Wenn ich [mm]t:=x^\alpha[/mm] substituiere, komme ich auf
> Folgendes:
>  
> [mm]J_\alpha[/mm] = [mm]\int_0^\infty \frac1\alpha t^{\frac1\alpha -1} e^{it}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(it)^k}{k!}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{i^kt^{k+\frac1\alpha -1}}{k!}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \left[\frac{t^{k+\frac1\alpha}}{k+\frac1\alpha}\right]_0^\infty[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!(\alpha k +1)} t^k[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k}}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k+1}}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1} \right)[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k}+i \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1}[/mm]
>  
> 1. Darf ich diese Schritte alle machen, insbesondere die
> Vertauschung von Summe und Integral?

Nein. Die Integrale

  [mm]\int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt[/mm]

divergieren für [mm] $k+\frac1\alpha [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] -1$ an der oberen Grenze, was für alle k der Fall ist. Deine Grenzwerte existieren nicht.

> 2. Jetzt habe ich das ganze Zeug in Real- und Imaginärteil
> aufgespaltet, aber weiter komme ich nicht.

Versuch doch erstmal zu zeigen, dass das Integral für [mm] $\alpha\le [/mm] 1$ nicht existiert. In diesem Fall ist nämlich der Exponent [mm] $\frac1\alpha [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] 0$.

Viele Grüße
   Rainer




Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:08 Fr 13.07.2012
Autor: TommyAngelo

Ja klar. Du hast Recht.

Sei also [mm] \alpha \leq1. [/mm] Dann ist [mm] J_\alpha [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt [/mm] + [mm] i\frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt [/mm]

Betrachten wir [mm] \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt \geq \int_{\frac\pi2}^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}t^{\frac1\alpha -1}|\cos(t)|dt [/mm]

Weil die Folge [mm] a_k:=\int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}t^{\frac1\alpha -1}|\cos(t)|dt \underset{\alpha \leq 1}{\geq} \int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}|\cos(t)|dt=2 [/mm] keine Nullfolge ist, divergiert die Reihe.

Beim Sinus ist es ähnlich:
[mm] \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt \geq \int_\pi^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}t^{\frac1\alpha -1}|\sin(t)|dt [/mm]

Es gilt auch hier [mm] \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}t^{\frac1\alpha -1}|\sin(t)|dt \geq2, [/mm] somit keine Nullfolge.

Daher existiert das Gesamtintegral nicht.

Stimmt es bisher?

Bezug
                        
Bezug
Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Mo 16.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 15.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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