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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Fr 21.09.2012
Autor: mwieland

Aufgabe
Lösen Sie folgendes Integral:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx} [/mm]

Hallo alle zusammen!

Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett ratlos bin...  Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?

Vielen Dank schon mal,

lg Markus

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Fr 21.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo mwieland,


> Lösen Sie folgendes Integral:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx}[/mm]
>  
> Hallo alle zusammen!
>  
> Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes
> Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett
> ratlos bin...  Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge
> helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?

Das ist aber eine sehr harte Nuss - sicher, dass du alles richtig abgeschrieben hast?

Ein schneller "Vorabcheck" auf wolfram alpha verheißt nichts Gutes ...

Der spuckt ein schreckliches Ergebnis aus:

Siehe hier:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+%28cos%28x%29%2Bsin%28x%29%29%2F%281%2Bsin%28x%29%29+dx

Da kannst du auch die Schritte anzeigen lassen - alles wenig erbaulich ...

>  
> Vielen Dank schon mal,
>
> lg Markus

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Fr 21.09.2012
Autor: mwieland

vielen dank schon mal, jap, ist die richtige angabe ;)

ich hab mal folgendes versucht:

es gibt ja den einen trick wo man so substituiert:

u= [mm] tan(\bruch{x}{2}), [/mm] dann ist

cos(x) = [mm] \bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}, [/mm]

sin(x) = [mm] \bruch{2u}{1+u^{2}} [/mm] und

dx = [mm] \bruch{2}{1+u^{2}}*du [/mm]

dann hab ich folgendes integral:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1-u^{2}+2u}{1+u^{2}}}{\bruch{1+u^{2}+2u}{1+u^{2}}} * \bruch{2}{1+u^{2}}du} [/mm]

und wenn ich das dann vereinfache komme ich auf

-2 * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{u^{2}-2u-1}{u^{4}+2u^{3}+2u^{2}+2u+1}du} [/mm]

und hier könnte man dann eine partialbruchzerlegung machen, oder?

btw: wie würde ich eine PBZ mit einem nennerterm 4ter ordnung angehen? hab das bis jetzt nur mit termen 2ter ordnung gemacht, was ja relativ simpel ist...

vielen dank und lg
markus

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Fr 21.09.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> vielen dank schon mal, jap, ist die richtige angabe ;)
>  
> ich hab mal folgendes versucht:
>  
> es gibt ja den einen trick wo man so substituiert:
>  
> u= [mm]tan(\bruch{x}{2}),[/mm] dann ist
>  
> cos(x) = [mm]\bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}},[/mm]
>
> sin(x) = [mm]\bruch{2u}{1+u^{2}}[/mm] und
>  
> dx = [mm]\bruch{2}{1+u^{2}}*du[/mm]

Ja, so geht der elektr. Rechenknecht auch vor ...

>  
> dann hab ich folgendes integral:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1-u^{2}+2u}{1+u^{2}}}{\bruch{1+u^{2}+2u}{1+u^{2}}} * \bruch{2}{1+u^{2}}du}[/mm]
>  
> und wenn ich das dann vereinfache komme ich auf
>
> -2 * [mm]\integral_{}^{}{\bruch{u^{2}-2u-1}{u^{4}+2u^{3}+2u^{2}+2u+1}du}[/mm]


Hier kommt der Knecht auf [mm]-2\int{\frac{u^2-2u-1}{u^4+2u^3+2u^2+2u+1} \ du}[/mm] und nach Faktorisierung des Nennes auf

[mm]-2\int{\frac{u^2-2u-1}{(u+1)^2(u^2+1)} \ du}[/mm]

Prüfe also deine Rechnung dahin gehend mal nach.

Dann ist der Ansatz für eine PBZ:

[mm]\frac{u^2-2u-1}{(u+1)^2(u^2+1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{(u+1)^2}+\frac{Cu+D}{u^2+1}[/mm], denn du hast eine doppelte reelle und eine komplexe Nullstelle im Nenner ...

>  
> und hier könnte man dann eine partialbruchzerlegung
> machen, oder?
>  
> btw: wie würde ich eine PBZ mit einem nennerterm 4ter
> ordnung angehen?

Das zerlegt man möglichst in Linearfaktoren, zumindest in quadrat.. Polynome und macht den üblichen Ansatz - siehe konkret oben ...

> hab das bis jetzt nur mit termen 2ter
> ordnung gemacht, was ja relativ simpel ist...
>  
> vielen dank und lg
>  markus

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Fr 21.09.2012
Autor: mwieland

ok ja, hab schon gesehen, dass ich schon einen schritt zu weit war eigentlich mit dem ausmiultiplizieren ;)

das ergebnis war bei mir übrigens das gleiche wie bei dir, mir hat er nur den -2 faktor irgendwie nicht mit reingenommen ;)

vielen dank für deine hilfe!

lg markus

Bezug
                                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Fr 21.09.2012
Autor: mwieland

so hab nun die PBZ ausgeführt und komme nun auf folgendes, kann das stimmen?

[mm] +2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}dx} [/mm]

dank und lg
mark

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Fr 21.09.2012
Autor: MathePower

Hallo mwieland,

> so hab nun die PBZ ausgeführt und komme nun auf folgendes,
> kann das stimmen?
>  
> [mm]+2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}dx}[/mm]
>  


Da hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen:

[mm]+2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u+1} - \bruch{1}{(u+1)^{2}} -\bruch{u}{u^{2}+1} + \bruch{1}{u^{2}+1}d\blue{u}}[/mm]

Ja, das stimmt. [ok]


> dank und lg
>  mark


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Fr 21.09.2012
Autor: Valerie20


> Da hat sich ein Scheibfehler eingeschlichen:

Noch einer:

"Da hat sich ein Sch[mm]\big{\blue{r}}[/mm]eibfehler eingeschlichen:" ;-)


Bezug
                                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Fr 21.09.2012
Autor: reverend

Der war gut. ;-)


Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Fr 21.09.2012
Autor: abakus


> Lösen Sie folgendes Integral:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} dx}[/mm]
>  
> Hallo alle zusammen!
>  
> Ich lerne gerade für meine Klausur und habe folgendes
> Integral vor mir, bei dem ich im ersten Moment komplett
> ratlos bin...  Könnte mir bitte jemand auf die Sprünge
> helfen mit welcher Regel ich das am besten lösen könnte?
>  
> Vielen Dank schon mal,
>
> lg Markus

Hallo,
eine Zerlegung von [mm]\bruch{cos(x) + sin(x)}{1 + sin(x)} [/mm] in [mm]\bruch{cos(x) }{1 + sin(x)}+\bruch{ sin(x)}{1 + sin(x)}=\bruch{cos(x) }{1 + sin(x)}+1-\bruch{ 1}{1 + sin(x)}[/mm]
liefert vorn einen Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist --> leicht zu integrieren.
Es ist jetzt die Frage, ob auch der hintere Bruch mit vertretbarem Aufwand intgrierbar ist.
Gruß Abakus


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