Integral 1/(1+e<hoch> x ) <hoch> -1/2 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag erst mal,
wie bekomme ich die Stammfunktion von [mm] \bruch {dx} \wurzel {(1+e^x)} [/mm]
mit u = [mm] \wurzel {(1+e^x)} [/mm] soll substituiert werden.
soweit ich das überblicke ist dann [mm] \bruch {du} {dx} = \bruch {e^x} \wurzel {(2(1+e^x))} [/mm] (Hat er richtig differenziert???)
Tuh ich dass nun so zusammenbasteln bekomm ich als neues Integral
[mm] \bruch {du} {e^x} [/mm]
Es sollte aber (nach zu 99.9% warscheinlich richtiger Lösung) letztendlich ln x als Stammfunktion rauskommen. Aber ln x ist nicht die Stammfunktion von [mm] \bruch {du} {e^x} [/mm]
Mich wundert auch irgendwie dass nach dem substituieren in meiner funktion ein x vorkommt, obwohl ich da ja eigentlich nach u integriere???
oder check ich grad gar nix mehr
Schon mal dake für eure Hilfe
Möge die Macht mit euch sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:33 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Breznseuzer,
willkommen im MatheRaum  !
> wie bekomme ich die Stammfunktion von [mm]\bruch {dx} \wurzel {(1+e^x)} [/mm]
>
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> mit u = [mm]\wurzel {(1+e^x)} [/mm] soll substituiert werden.
>
> soweit ich das überblicke ist dann [mm]\bruch {du} {dx} = \bruch {e^x} \wurzel {(2(1+e^x))} [/mm]
> (Hat er richtig differenziert???)
Nein, es müßte [mm]\bruch {du} {dx} = \bruch {e^x}{\red{2} \wurzel {1+e^x}} [/mm] lauten (die Ableitung von [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] ist ja [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}}$).
[/mm]
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> Tuh ich dass nun so zusammenbasteln bekomm ich als neues
> Integral
>
> [mm]\bruch {du} {e^x} [/mm]
Da hab' ich [mm] $\integral e^{-x}*\red{2} [/mm] du$ raus.
Bitte überprüfe das noch mal.
> Mich wundert auch irgendwie dass nach dem substituieren in
> meiner funktion ein x vorkommt, obwohl ich da ja eigentlich
> nach u integriere???
Das stimmt, gut, dass dich das wundert Das hat mich auch zunächst gewundert --ich bin auch nicht so bewandert auf dem Gebiet der Integration/Substitution--, habe aber dann eingesehen, dass das x auch noch substituit werden muß:
[mm] $u=\wurzel{1+e^x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u^2=1+e^x$
[/mm]
[mm] $\gdw\ e^x=u^2-1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ x=\ln(u^2-1)$
[/mm]
Das ist also noch zu substituieren:
[mm] $\integral\ 2*e^{-\ln(u^2-1)}\ [/mm] du$
Das kannst du dann noch etwas vereinfachen, so dass du ein Grundintegral erhältst, das in meiner (Schüler-) Formelsammlung steht: [mm] $\integral\ \bruch{1}{x^2-a^2}=\bruch{1}{2a}\ln\bruch{x-a}{x+a}$, [/mm] ich denke aber, das läßt sich auch schnell zeigen.
Wenn du magst, können wir gerne unsere Lösungen vergleichen, wenn du uns deine schreibst (meine müßte stimmen, da die Ableitung der Integrand ist).
Natürlich kannst du auch gerne weitere Fragen auf deinem Weg zur Lösung stellen
Viele Grüße,
Marc
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Vielen dank für die prompte hilfe marc
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