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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 11.02.2009 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | Nach einem Unfall tritt ein giftiger Stoff aus, die Konzentration des Stoffes wird von der Feuerwehr stündlich gemessen (mg/min). Bestimmen sie eine geeignete Funktion m und berechnen sie die während der ersten vier bzw 24 Stunden frei gewordene Giftmenge.
1 Stunde 2 Stunden 3 Stunden 4 Stunden
8,2 mg/min 1,67 mg/min 0,34 mg/min 0,07 mg/min |
Hallo erstmal und Danke im voraus!!
Ich habe folgende Vorgehensweise gewählt:
m(t)= a * [mm] b^t
[/mm]
1. Berechnung der Basis:
1,67/8,20 * 100 = ca 21%
0,34/1,67 * 100 = ca 19%
Dies habe ich für alle Werte getan und aufgrund der Abweichung einen Mittelwert der drei Werte auf fünf Nachkommastellen genau gebildet.
Mit dieser Basis (0,20329) danach den Faktor a bestimmt:
8,2 = a * 0,20329 / /0,20329
40,3365 = a
Dies wiederum mit allen Werten durchgeführt und einen erneuten Mittelwert (40,55) errechnet.
m(t)= 40,55 * 0,20329 ^t
Testeinsetzungen der geg. Werte ergaben nur geringfügige Abweichungen im Nachkommastellenbereich.
Nun die Funktion aufgeleitet um erst mal die Menge für vier Stunden zu berechnen:
[mm] \integral_{0}^{4}{m(t)= 40,55 * 0,20329^t dt}=
[/mm]
[mm] 40,55*\integral_{0}^{4}{M(t) dt}= \bruch{e^{t*ln 0,20329}}{ln0,20329}=
[/mm]
[mm] \bruch{40,55}{ln 0,20329}* \integral_{0}^{4}{M(t) dt} =e^{t*ln 0,20329}=
[/mm]
[mm] \bruch{40,55}{ln 0,20329}*(1,71*10^{-3}-1)\approx25,453
[/mm]
Nun noch die Dimensionsbetrachtung, da ich ja jetzt [mm] \bruch{mg*Stunde}{minute} [/mm] habe:
also 25,453*240 = 6108,72 mg
Nun habe ich folgendes mal überschlagen:
Die Funktion schneidet bei ca 40 die y-Achse, bei ca 240 (Minuten) die x-Achse. Wenn ich nun die Fläche dieses Dreiecks, das garantiert zu groß ist, berechne, komme ich auf 20*240=4800mg. Ein Wert, der wesentlich kleiner als meine "genaue" Fläche, jedoch garantiert viel zu groß ist.
Bei genauerer Überschlagsrechnung komme ich auf ca 1400mg...
Ich tippe auf einen Fehler in der Aufleitung, da Probeeinsetzungen in meine Funktion recht genaue Werte ergaben. Gibt´s eigentlich noch ne andere Variante zur Funktionsbestimmung?
Ein ganz anderer Ansatz wäre, eine e-Funtion über die vier Punkte zu rekonstruieren ("Steckbriefaufgabe), aber hier habe ich noch nicht mal einen Ansatz.....
Ach ja, sorry wegen des Intervallzeichens nach der Aufleitung....hab die eckigen Klammern mit oberer/unterer Grenze nicht finden können und ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 11.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Find ich gut, dass du ne Ueberschlagsrechnung zur Kontrolle machst!
dein Fehler: 1Stunde=60Min 1Stunde/1min=60 und nicht 240.
du hast die 4 ja schon im Integral berechnet.
Anderer Weg waere es gewesen alles in Min, oder alles in h zu rechnen.
[mm] etwa:m(t)=40mg/min*0,2^{t/h}=40mg/min*0.2^{t/60min}
[/mm]
oder die 40mg/min in 40*60mg/h umrechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mi 11.02.2009 | | Autor: | jaktens |
Tausend Dank!
Um die Aufgabe komplett zu machen:
Als obere Grenze 24 einsetzen, Flächeninhalt [mm] \to [/mm] 25,453 da [mm] e^{n*ln0,20329}\to0 [/mm] geht.
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