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Integral/Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 So 18.03.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Für welche a [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] =8 ?

[mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2|dx}=8 [/mm] = [mm] |2*2-2^2|-|2a-a^2|=8 [/mm]
[mm] -|2a-a^2|=8 [/mm]

Jetzt muss ich eine Fallunterscheidung machen:
[mm] 2a-a^2 [/mm] >0
[mm] -2a+a^2=8 [/mm]
[mm] a^2-2a-8=0 [/mm]
=> [mm] a_{1,2} [/mm] = 4,-2


[mm] 2a-a^2 [/mm] < 0
[mm] --(2a-a^2)=8 [/mm]
[mm] 2a-a^2 [/mm] = 8
[mm] 2a-a^2-8=0 [/mm]
[mm] a^2-2a+8=0 [/mm]
=> keine Lösung

4 und -2 sind Lösungen aber sind es schon alle?
LG

        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 18.03.2012
Autor: chrisno

Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion? Leite mal Deine "Stammfunktion" ab. Dann merkst Du, dass das nicht stimmen kann, was Du da gemacht hast. Als nächstes plotte mal die Funktion.

Dann: suche die Nullstellen des Integranden, zerlege das Integral in Teile, so dass Du den Betrag weglassen kannst und dann suche die Lösung für a.

Bezug
                
Bezug
Integral/Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 So 18.03.2012
Autor: sissile


> Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion?

Mir wäre spontan die Signumfunktion eingefallen. Aber die Signums-Funktion ist im Ursprung nicht differenzierbar.

> Leite mal Deine "Stammfunktion" ab

[mm] \integral |2x-x^2| [/mm] dx = | [mm] x^2-\frac{x^3}{3} [/mm] |

> suche die Nullstellen des Integranden

[mm] x^2*(1-x/3) [/mm]
[mm] x^2=0 [/mm] <=> [mm] x_1=0 [/mm]
1-x/3 =0 <=> [mm] x_2=3 [/mm]
bei 0 und 3

> Zerlege den Integrand in Teile

Das versteh ich nicht mehr, wie ich das jetzt weiter machen soll

Bezug
                        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 So 18.03.2012
Autor: MathePower

Hallo sissile,

> > Welche Funktion abgeleitet ergibt die Betragsfunktion?
>  Mir wäre spontan die Signumfunktion eingefallen. Aber die
> Signums-Funktion ist im Ursprung nicht differenzierbar.
>
> > Leite mal Deine "Stammfunktion" ab
>  [mm]\integral |2x-x^2|[/mm] dx = | [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm] |
>  
> > suche die Nullstellen des Integranden
>  [mm]x^2*(1-x/3)[/mm]


Der Integrand lautet doch: [mm]\vmat{2x-x^{2}}[/mm]


>  [mm]x^2=0[/mm] <=> [mm]x_1=0[/mm]

>  1-x/3 =0 <=> [mm]x_2=3[/mm]

>  bei 0 und 3
>  
> > Zerlege den Integrand in Teile
>  Das versteh ich nicht mehr, wie ich das jetzt weiter
> machen soll



Gruss
MathePower

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Bezug
Integral/Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 So 18.03.2012
Autor: sissile

$ [mm] \vmat{2x-x^{2}} [/mm] $ davon sind die Nullstellen 0 und 2.

ABer ich weiß noch immer nicht wie ich die aufgabe nun löse?

$ [mm] \integral_{a}^{2} |2x-x^2| [/mm] $ dx = | $ [mm] x^2-\frac{x^3}{3} [/mm] $ | = [mm] |2^2 -\frac{8}{3}| [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8

Bezug
                                        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 So 18.03.2012
Autor: MathePower

Hallo sissile,

> [mm]\vmat{2x-x^{2}}[/mm] davon sind die Nullstellen 0 und 2.
>  
> ABer ich weiß noch immer nicht wie ich die aufgabe nun
> löse?
>  
> [mm]\integral_{a}^{2} |2x-x^2|[/mm] dx = | [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm] | =
> [mm]|2^2 -\frac{8}{3}|[/mm] - [mm]|a^2-\frac{a^3}{3}|[/mm] =8


Das ist richtig, falls [mm]0 \le a \le 2[/mm].

Mache zunächst eine Fallunterscheidung hinsichtlich a.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
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Integral/Betrag: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:08 Mo 19.03.2012
Autor: sissile


> $ [mm] |2^2 -\frac{8}{3}| [/mm] $ - $ [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] $ =8


> Das ist richtig, falls $ 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 2 $.

> Mache zunächst eine Fallunterscheidung hinsichtlich a.

[mm] |\frac{12-8}{3}| [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
<=>
[mm] |\frac{4}{3}| -|a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
<=>
[mm] \frac{4}{3} -|a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =8
[mm] -\frac{20}{3} [/mm] - [mm] |a^2-\frac{a^3}{3}| [/mm] =0
=> Und das hat keine Lösung, was mache ich falsch?

Bezug
        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:45 Mo 19.03.2012
Autor: angela.h.b.


> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}[/mm] =8 ?

Hallo,

bevor Du munter einfach irgendwie drauflosintegrierst, solltest Du Dich mal mit der zu integrierenden Funktion beschäftigen.

Es ist nämlich

[mm]|2x-x^2 |:=\begin{cases} 2x-x^2, & \mbox{fuer } 2x-x^2\ge 0 \\ -(2x-x^2), & \mbox{fuer } 2x-x^2<0 \end{cases}[/mm]

Wenn Du hierüber ein wenig nachdenkst, dann stellst Du fest


[mm]|2x-x^2 |:=\begin{cases}-(2x-x^2), & \mbox{fuer } x>2\\ 2x-x^2, & \mbox{fuer } 0\le x \le 2 \\ -(2x-x^2), & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]


Nun mach eine Fallunterscheidungen:

A. a>2
B. 0<a<2
C. a<0


A. a>2

Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$ =-$\integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}$ [/mm] = ...

Wir haben es nun nur mit x-Werten zu tun, die größer als 2 sind, also

[mm] ...=-$\integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx}$ [/mm]


B. 0<a<2

Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$= [/mm] ???

Wie kann man das ohne Betragstriche schreiben? Dann integrieren.



C. a<0

Dann ist 8= [mm] $\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}$= $\integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx}$+$\integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx}$=??? [/mm]

Schreib jeweils ohne Betragstriche und integriere.

LG Angela





>  [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2|dx}=8[/mm] = [mm]|2*2-2^2|-|2a-a^2|=8[/mm]
>  [mm]-|2a-a^2|=8[/mm]
>  
> Jetzt muss ich eine Fallunterscheidung machen:
>  [mm]2a-a^2[/mm] >0
>  [mm]-2a+a^2=8[/mm]
>  [mm]a^2-2a-8=0[/mm]
>  => [mm]a_{1,2}[/mm] = 4,-2

>  
>
> [mm]2a-a^2[/mm] < 0
>  [mm]--(2a-a^2)=8[/mm]
>  [mm]2a-a^2[/mm] = 8
>  [mm]2a-a^2-8=0[/mm]
>  [mm]a^2-2a+8=0[/mm]
>  => keine Lösung

>  
> 4 und -2 sind Lösungen aber sind es schon alle?
>  LG


Bezug
                
Bezug
Integral/Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 19.03.2012
Autor: sissile

Danke für den großen Tipp!

A)

> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $ =-$ [mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $ =-$ [mm] \integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx} [/mm] $

= - [mm] (-x^2 [/mm] + [mm] \frac{x^3}{3})= x^2- \frac{x^3}{3} [/mm]
= [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] - [mm] (2^2-\frac{2^3}{3})= a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] - 4/3

0= [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3} [/mm] - 28/3
0= [mm] 3a^2 [/mm] - [mm] a^3 [/mm] - 28
Da weiß ich nun nicht weiter, wie ich das lösen kann!!


> B. 0<a<2

> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $= ???

[mm] \integral_{a}^{2}{2x-x^2 dx} [/mm] = [mm] x^2-\frac{x^3}{3} [/mm]
[mm] =2^2-\frac{2^3}{3} [/mm] - [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] = -2/3 - [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3} [/mm]

0= -26/3 - [mm] a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3} [/mm]
Da stecke ich wieder bei der Lösbarkeit.
0= -26 - [mm] 3a^2 [/mm] - [mm] a^3 [/mm]

> C. a<0

> Dann ist 8= $ [mm] \integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $= $ [mm] \integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $+$ [mm] \integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm] $=???

[mm] \integral_{a}^{0}{- (2x-x^2) dx}+ \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=x^2 -\frac{x^3}{3}= 2^2-\frac{2^3}{3}= [/mm] 4/3
[mm] \integral_{a}^{0}{-(2x-x^2) dx}= -x^2 +\frac{x^3}{3}= 0-(-a^2+\frac{a^3}{3})= a^2- \frac{a^3}{3} [/mm]

Insgesamt
8= [mm] \integral_{a}^{0}{ - (2x-x^2) dx}+\integral_{0}^{2}{2x- x^2 dx} [/mm]  = [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm] +4/3
<=>
0= [mm] a^2-\frac{a^3}{3} [/mm]  - 20/3
[mm] 0=3a^2-a^3 [/mm] -20

Du siehst ich scheitere jeweils bei der Lösung der Gleichung.
Kannst du mir da nochmal helfen?

Bezug
                        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 19.03.2012
Autor: angela.h.b.


> Danke für den großen Tipp!
>  
> A) a>2
>  > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx}[/mm] =-[mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}[/mm]

Hallo,

im Grunde kann man an dieser Stelle bereits aufhören:
[mm] |2x-x^2|\ge [/mm] 0 für [mm] x\in [/mm] [2,a].
Also ist -$ [mm] \integral_{2}^{a}{|2x-x^2 |dx}$ \le [/mm] 0, und Du hast einen Widerspruch.


> =-[mm] \integral_{2}^{a}{-(2x-x^2)dx}[/mm]
>  = - [mm](-x^2[/mm] +
> [mm]\frac{x^3}{3})= x^2- \frac{x^3}{3}[/mm]
>  = [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] -
> [mm](2^2-\frac{2^3}{3})= a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] - 4/3
>  
> 0= [mm]a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3}[/mm] - 28/3
>  0= [mm]3a^2[/mm] - [mm]a^3[/mm] - 28
>  Da weiß ich nun nicht weiter, wie ich das lösen kann!!

Du hast [mm] -28=a^3-3a^2=a^2(a-3)>... [/mm] Bedenke, daß a>2 und schätze ab.


>  
>
> > B. 0<a<2

> > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]= ???
> [mm]\integral_{a}^{2}{2x-x^2 dx}[/mm] = [mm]x^2-\frac{x^3}{3}[/mm]
>  [mm]=2^2-\frac{2^3}{3}[/mm] - [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] = -2/3 - [mm]a^2[/mm] -  [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]

Moment! Hier fehlen doch Klammern, und außerdem gibt's einen Rechenfehler.
Schätze nach dem Verbessern wieder ab und zeige, daß es keine Lösung gibt.

Andere Idee:
Berechne das Integral von 0 bis 2 und überlege...

>  
> 0= -26/3 - [mm]a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
>  Da stecke ich wieder bei der Lösbarkeit.
>  0= -26 - [mm]3a^2[/mm] - [mm]a^3[/mm]
>  
> > C. a<0
>  
> > Dann ist 8= [mm]\integral_{a}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]=
> [mm]\integral_{a}^{0}{|2x-x^2 |dx} [/mm]+[mm] \integral_{0}^{2}{|2x-x^2 |dx} [/mm]=???
>
> [mm]\integral_{a}^{0}{- (2x-x^2) dx}+ \integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2}{2x-x^2 dx}=x^2 -\frac{x^3}{3}= 2^2-\frac{2^3}{3}=[/mm]  4/3
>  [mm]\integral_{a}^{0}{-(2x-x^2) dx}= -x^2 +\frac{x^3}{3}= 0-(-a^2+\frac{a^3}{3})= a^2- \frac{a^3}{3}[/mm]
>  
> Insgesamt
> 8= [mm]\integral_{a}^{0}{ - (2x-x^2) dx}+\integral_{0}^{2}{2x- x^2 dx}[/mm]
>  = [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm] +4/3
>  <=>
>  0= [mm]a^2-\frac{a^3}{3}[/mm]  - 20/3
>  [mm]0=3a^2-a^3[/mm] -20

<==>

[mm] a^3-3a^2+20=0 [/mm]

Der Leitkoeffizient (Faktor vor [mm] a^3) [/mm] ist 1.
Sofern es ganzzahlige Lösungen gibt, sind diese Teiler von 20.
Es lohnt sich also, zunächst mal die (pos. und neg.) Teiler von 20 durchzuprobieren.

LG Angela



>  
> Du siehst ich scheitere jeweils bei der Lösung der
> Gleichung.
>  Kannst du mir da nochmal helfen?


Bezug
                                
Bezug
Integral/Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mo 19.03.2012
Autor: sissile

A ist nun klar, vielen dank ;)

B)
[mm] 8=\integral_{a}^{2} |2x-x^2| [/mm] dx = [mm] \integral_{a}^{2} 2x-x^2 [/mm] dx = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{x^3}{3} [/mm]
= (4- 8/3) - [mm] (a^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3}{3}) [/mm] = 4/3 - [mm] a^2 [/mm] + [mm] \frac{a^3}{3} [/mm]

Ich weiß nicht genau wie ich am betsen abschätze und vorallem in welche Richtung!

8= 4/3 - [mm] a^2 [/mm] + [mm] \frac{a^3}{3} [/mm] < 4/3 + [mm] \frac{a^3}{3} [/mm]
Auch wenn ich hier den größten wert, den a erreichen kann (2) einsetzte kommt nie was größeres als 8 raus

AUf die andere idee bin ich nicht gekommen ;(

C
Ich glaub da gibts keine ganze Zahl, die zu 0 fürhren würde ;(

Bezug
                                        
Bezug
Integral/Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:00 Di 20.03.2012
Autor: angela.h.b.


> A ist nun klar, vielen dank ;)
>  
> B)
>  [mm]8=\integral_{a}^{2} |2x-x^2|[/mm] dx = [mm]\integral_{a}^{2} 2x-x^2[/mm]
> dx = [mm]x^2[/mm] - [mm]\frac{x^3}{3}[/mm]
>  = (4- 8/3) - [mm](a^2[/mm] - [mm]\frac{a^3}{3})[/mm] = 4/3 - [mm]a^2[/mm] +
> [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
>  
> Ich weiß nicht genau wie ich am betsen abschätze und
> vorallem in welche Richtung!
>  
> 8= 4/3 - [mm]a^2[/mm] + [mm]\frac{a^3}{3}[/mm] < 4/3 + [mm]\frac{a^3}{3}[/mm]
>  Auch wenn ich hier den größten wert, den a erreichen
> kann (2) einsetzte kommt nie was größeres als 8 raus

Hallo,

aha.
Du hast doch dann 8<12/3=4.
Widerspruch! Also gibt es solch ein a nicht.

>  
> AUf die andere idee bin ich nicht gekommen ;(

Was hast Du denn fürs Integral von 0 bis 2 bekommen?
Und dann überleg Dir, ob das Integral/die Fläche, die Du ausrechnen willst, größer oder kleiner ist.

>  
> C
>  Ich glaub da gibts keine ganze Zahl, die zu 0 fürhren
> würde ;(

Zum Glauben gehen wir in den Tempel.
Welche Teiler hast Du getestet?
Hast Du in  $ [mm] a^3-3a^2+20=0 [/mm] $
mal ein paar Werte eingesetzt, z.B. a=-100 und a=0?
Was stellst Du fest, was schließt Du daraus?
Oder geplottet?

Wenn Du ansatzweise weißt, was das Integral mit dem Graphen des Integranden zu  tun hat und Du Dir die zu integierende Funktion mal geplottet hast, wirst Du wissen, daß es so ein a geben muß.

Zum Bestimmen ist nun Aktivität gefragt, nicht Glauben.


Nochmal ein wenig zusammenfassend:

Du hast gemerkt, daß Du diese Aufgabe rein rechnerisch angehen kannst - und man sollte das auch wirklich mal machen und können.
Der Witz hierbei war,  nicht einfach irgendwas zu tun, sondern sich erstmal zu überlegen, was "Betragsfunktion" eigentlich bedeutet und dann entsprechend zu handeln, also zu rechnen.

Bequemer kommt man mit meinen zwischendurch gemachten Bemerkungen zum Ziel, welche durch Denken einiges an Rechnerei ersparen.
Wenn man sich die Funktion mal skizziert hat, sieht man gleich, daß es
kein a>2 geben kann, mit welchem beim Integral 8 herauskommt, denn die Integrationsrichtung geht ja dann von rechts nach links bei einer positiven Funktion.
Als nächstes wird einem beim Sinnieren über "Fläche unterm Graphen" klar, daß es solch ein a geben muß, und daß es nicht zwei geben kann.
Wenn man nun grade mal die Fläche zwischen 0 und 2 berechnet, weiß man, ob das gesuchte a zwischen 0 und 2 liegt, oder ob es kleiner als 0 ist.
Wenn man vorher schon von 0 bis 2 integriert hat, braucht man nun eigentlich nur noch von  a bis 0 zu integrieren und nachzugucken, für welches a man [mm] (8-\integral_0^2) [/mm]  herausbekommt.



LG Angela


Bezug
                                                
Bezug
Integral/Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Di 20.03.2012
Autor: sissile

Tausendhundert dank ;))
a=-2
LG

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