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| Aufgabe | Hallo, sei
[mm] $A:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}$
[/mm]
und
[mm] $v\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, (x,y,z)\longmapsto (x^3,x^2y,zx^2)$.
[/mm]
Berechne
[mm] $\int_A\mbox{div }v\, [/mm] d^3x$. |
Hallo!
Es ist
[mm] $\mbox{div }v=5x^2$.
[/mm]
Jetzt habe ich $A$ parametrisiert:
[mm] $\Psi\colon [0,1]\times [-\pi,\pi)\times [0,1]\to\mathbb{R}^3, (u,v,w)\longmapsto\begin{pmatrix}u\cos v\\u\sin v\\w\end{pmatrix}$?
[/mm]
Jetzt habe ich die Transformationformel benutzt.
Damit erhalte ich:
[mm] $\int_A 5x^2\, d(x,y,z)=5\int_0^1\int_{-\pi}^{\pi}\int_0^1 u^2\cos^2 [/mm] v [mm] u\, dw\, dv\, [/mm] du=5/4 [mm] \pi$,
[/mm]
Irgendwie stimmt doch da was nicht, denn m.W. müsste da [mm] $\pi$ [/mm] rauskommen.
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Hallo sick_of_math,
> Hallo, sei
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> [mm]A:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}[/mm]
>
> und
>
> [mm]v\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, (x,y,z)\longmapsto (x^3,x^2y,zx^2)[/mm].
>
> Berechne
>
> [mm]\int_A\mbox{div }v\, d^3x[/mm].
>
>
>
> Hallo!
>
> Es ist
>
> [mm]\mbox{div }v=5x^2[/mm].
>
> Jetzt habe ich [mm]A[/mm] parametrisiert:
>
> [mm]\Psi\colon [0,1]\times [-\pi,\pi)\times [0,1]\to\mathbb{R}^3, (u,v,w)\longmapsto\begin{pmatrix}u\cos v\\u\sin v\\w\end{pmatrix}[/mm]?
>
> Jetzt habe ich die Transformationformel benutzt.
>
> Damit erhalte ich:
>
> [mm]\int_A 5x^2\, d(x,y,z)=5\int_0^1\int_{-\pi}^{\pi}\int_0^1 u^2\cos^2 v u\, dw\, dv\, du=5/4 \pi[/mm],
>
Ich erhalte dasselbe Ergebnis.
> Irgendwie stimmt doch da was nicht, denn m.W. müsste da
> [mm]\pi[/mm] rauskommen.
Gruss
MathePower
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