Integral, Doppelintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 27.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, ich habe die Frage zwar irgendwann schon einmal gestellt gehabt, da sie aber niemand beantworten konnte und ich die Antwort unbedingt benötige frage ich erneut:
Wie erhalte ich die folgende Ungleichung?
[mm] $\int_{t-1}^t\int_{s}^{t}\vert{u(\zeta)}\vert^2 d\zeta ds\,\leqslant\,\int_{t-1}^{t}\vert{u(s)}\vert^2 [/mm] ds$
Dabei ist $t-1>0$ und $s$ zwischen $t-1$ und $t$
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> Hallo, ich habe die Frage zwar irgendwann schon einmal
> gestellt gehabt, da sie aber niemand beantworten konnte und
> ich die Antwort unbedingt benötige frage ich erneut:
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> Wie erhalte ich die folgende Ungleichung?
>
> [mm]\int_{t-1}^t\int_{s}^{t}\vert{u(\zeta)}\vert^2 d\zeta ds\,\leqslant\,\int_{t-1}^{t}\vert{u(s)}\vert^2 ds[/mm]
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> Dabei ist [mm]t-1>0[/mm] und [mm]s[/mm] zwischen [mm]t-1[/mm] und [mm]t[/mm]
Hallo Denny,
zuerst schreibe ich mal lieber z statt [mm] \zeta.
[/mm]
Das Integrationsgebiet des Doppelintegrals
ist das in der s-z-Ebene liegende Dreieck,
berandet durch die Geraden s=t-1, z=s und z=t.
Über dieses Gebiet kann man auch in der
umgekehrten Reihenfolge integrieren. Das
Integral lautet dann:
[mm] $\integral_{z=t-1}^{t}\left(\ \integral_{s=t-1}^{z}|u(z)|^2*ds\right)*dz [/mm] $
Nun ist der Integrand des inneren Integrals
unabhängig von der (inneren) Integrations-
variablen s und kann deshalb vor das innere
Integral gezogen werden. Weiter kann man
dann noch verwenden, dass die Obergrenze
z des inneren Integrals stets zwischen t-1
und t liegt und damit auch die Ungleichung
[mm] z\le [/mm] t erfüllt.
Damit kommt man leicht auf die gewünschte
Ungleichung, zwar zuerst mit der Integrations-
variablen z (statt s) geschrieben. Aber dies
spielt bekanntlich keine Rolle !
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Do 27.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Perfekte Erklärung, danke!
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