Integral (Konvergenzsätze?) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 So 14.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nun soll ich folgendes berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{(2nsin(x)+3nx)^{1/n}dx)}
[/mm]
Außerdem soll ich noch die Konvergenz gegen den errechneten Grenzwert beweisen.
Wahrscheinlich kann man da irgendwie die Sätze von Beppo Levi oder Lebesgue anwenden, aber da ich da noch nicht so den Überblick habe, wäre es schön, wenn mir jemand ein paar Winke mit dem Zaunpfahl geben könnte...
Viele Grüße und schönes Rest-WE noch.
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Erst einmal sorry, dass ich mich lange nicht gemeldet habe (die PNs muss ich auch noch beantworten). Aber ich habe echt viel zu tun (ich halte gerade wieder einen Kurs).
Naja, jetzt bin ich ja da.
Also, du musst hier den Lebesgueschen Konvergenzsatz von der majorisierten Konvergenz anwenden.
Da da Funktion
$y [mm] \mapsto y^{\frac{1}{n}}$
[/mm]
monoton wachsend ist, folgt wegen [mm] $2n\sin(x) \le [/mm] 2n$ und $3nx [mm] \le [/mm] 3n$ auf $[0,1]$ gerade:
[mm] $\vert (2n\sin(x) [/mm] + [mm] 3nx)^{\frac{1}{n}} \vert \le (5n)^{\frac{1}{n}}$.
[/mm]
Die Folge [mm] $((5n)^{\frac{1}{n}})_{n \in \IN}$ [/mm] ist aber konvergent (es gilt: [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (5n)^{\frac{1}{n}} [/mm] = 1$) und daher beschränkt. Es gibt also eine Konstante $C>0$ mit
[mm] $\vert (2n\sin(x) [/mm] + [mm] 3nx)^{\frac{1}{n}} \vert \le (5n)^{\frac{1}{n}} \le [/mm] C$
für alle [mm] $\n \in \IN$.
[/mm]
Nun ist aber die Konstante $C$ eine Lebesgue-Schranke, da über ein kompaktes Integral integriert wird.
(Es gilt natürlich [mm] $\int\limits_{0}^1 [/mm] C = C < [mm] \infty$.)
[/mm]
Daher dürfen wir nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz Grenzwertbildung und Integration vertauschen.
Für jedes feste $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ gilt aber
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (2n\sin(x) [/mm] + [mm] 3nx)^{\frac{1}{n}} [/mm] = 1$
und für $x=0$:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (2n\sin(0) [/mm] + [mm] 3x\cdot 0)^{\frac{1}{n}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} 0^{\frac{1}{n}} [/mm] = 0$.
Da aber einzelne Punkte das Lebesgue-Integral nicht verändern folgt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_0^1 (2n\sin(x) [/mm] + [mm] 3nx)^{\frac{1}{n}} \, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] (2n [mm] \sin(x) [/mm] + [mm] 3nx)^{\frac{1}{n}}\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_0^1 1\, [/mm] dx = 1$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 18.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Sorry, dass ich erst jetzt antworte, aber ich hatte mir die Aufgabe schon früher durchgelesen und dachte, sie wäre klar...
> Erst einmal sorry, dass ich mich lange nicht gemeldet habe
> (die PNs muss ich auch noch beantworten). Aber ich habe
> echt viel zu tun (ich halte gerade wieder einen Kurs).
Kein Problem - solange es dir gut geht...
> Also, du musst hier den Lebesgueschen Konvergenzsatz von
> der majorisierten Konvergenz anwenden.
Gut, das hilft schon mal!
> Da da Funktion
>
> [mm]y \mapsto y^{\frac{1}{n}}[/mm]
>
> monoton wachsend ist, folgt wegen [mm]2n\sin(x) \le 2n[/mm] und [mm]3nx \le 3n[/mm]
> auf [mm][0,1][/mm] gerade:
>
> [mm]\vert (2n\sin(x) + 3nx)^{\frac{1}{n}} \vert \le (5n)^{\frac{1}{n}}[/mm].
>
>
> Die Folge [mm]((5n)^{\frac{1}{n}})_{n \in \IN}[/mm] ist aber
> konvergent (es gilt: [mm]\lim\limits_{n \to \infty} (5n)^{\frac{1}{n}} = 1[/mm])
> und daher beschränkt. Es gibt also eine Konstante [mm]C>0[/mm] mit
>
> [mm]\vert (2n\sin(x) + 3nx)^{\frac{1}{n}} \vert \le (5n)^{\frac{1}{n}} \le C[/mm]
>
>
> für alle [mm]\n \in \IN[/mm].
Ja, das ist soweit alles klar. 
>
> Nun ist aber die Konstante [mm]C[/mm] eine Lebesgue-Schranke, da
> über ein kompaktes Integral integriert wird.
>
> (Es gilt natürlich [mm]\int\limits_{0}^1 C = C < \infty[/mm].)
>
>
> Daher dürfen wir nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz
> Grenzwertbildung und Integration vertauschen.
>
> Für jedes feste [mm]x \in (0,1][/mm] gilt aber
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} (2n\sin(x) + 3nx)^{\frac{1}{n}} = 1[/mm]
>
>
> und für [mm]x=0[/mm]:
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} (2n\sin(0) + 3x\cdot 0)^{\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} 0^{\frac{1}{n}} = 0[/mm].
>
>
> Da aber einzelne Punkte das Lebesgue-Integral nicht
> verändern folgt:
>
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_0^1 (2n\sin(x) + 3nx)^{\frac{1}{n}} \, dx = \int\limits_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} (2n \sin(x) + 3nx)^{\frac{1}{n}}\, dx = \int\limits_0^1 1\, dx = 1[/mm].
Ne, habe gerade festgestellt, dass ich doch alles verstanden habe.
Danke. Viele Grüße
Christiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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