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| Aufgabe | | II. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit der Gleichung y = 2 x - 1/3 [mm] x^3 [/mm] und der Normalen im Wendepunkt |
Hallo erstmal,
ich bin die Aufgabe mal angegangen, aber nun bin ich mir nicht ganz sicher ob ich bisher richtig gerechnet habe. Wäre nett wenn jemand mal Korrektur liest und mir vielleicht weiter hilft, da ich mir bei den Integralen nicht ganz sicher bin.
y= 2x - [mm] 1/3x^3
[/mm]
y= - [mm] 1/3x^3 [/mm] + 2x
f'(x)= [mm] -x^2 [/mm] + 2
f''(x)= -2x
f'''(x)= -2
f''(0)= 0
f'''(0)= -2
d.h. f'' = 0
f''' < 0 das wäre dann doch ein Links-Rechts Wendepunkt
Koordinaten des Wendepunkts (0|0)
Zum Berchnen der Normalen brauche ich doch die Tangente, oder?
Ich habe dann
mt x mn = -1
mt = f'(0) = [mm] -(0)^2 [/mm] + 2
mt = 2
Steigung der Normalen:
mn = -1 / mt
mn = -1/2
n(x) = -1/2 x
Nun hab ich mir gedacht das ich die Schnittpunkte zur Berchnung des Integrals benötige. Also Gleichsetzen.
n(x) = f(x)
- 1/2x = - [mm] 1/3x^3 [/mm] + 2x
0 = x [mm] (-1/3x^2 [/mm] + 2,5)
x1= 0
0 = [mm] -1/3x^2 [/mm] + 2,5
-7,5 = [mm] x^2
[/mm]
x2= [mm] \wurzel{7,5}
[/mm]
x3 = [mm] -\wurzel{7,5}
[/mm]
Jetzt zur eigentlichen Frage, wie genau berechne ich den Flächeninhalt zwischen Graph der Funktion und der Normalen? Ich berechne die zwei Integrale und ziehe sie dann voneinander ab oder wie?
Vielen Dank schonmal im Voraus,
ist echt ein super Forum hier.
Gruss Lorenzo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Do 02.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> II. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem
> Graphen der Funktion f mit der Gleichung y = 2 x - 1/3 [mm]x^3[/mm]
> und der Normalen im Wendepunkt
> Hallo erstmal,
>
> ich bin die Aufgabe mal angegangen, aber nun bin ich mir
> nicht ganz sicher ob ich bisher richtig gerechnet habe.
> Wäre nett wenn jemand mal Korrektur liest und mir
> vielleicht weiter hilft, da ich mir bei den Integralen
> nicht ganz sicher bin.
>
> y= 2x - [mm]1/3x^3[/mm]
> y= - [mm]1/3x^3[/mm] + 2x
>
> f'(x)= [mm]-x^2[/mm] + 2
> f''(x)= -2x
> f'''(x)= -2
Korrekt
>
> f''(0)= 0
> f'''(0)= -2
>
> d.h. f'' = 0
> f''' < 0 das wäre dann doch ein Links-Rechts
> Wendepunkt
>
Yep, aber vor allem Interessiert dich, DASS es ein WP ist.
> Koordinaten des Wendepunkts (0|0)
>
> Zum Berchnen der Normalen brauche ich doch die Tangente,
> oder?
> Ich habe dann
>
> mt x mn = -1
>
> mt = f'(0) = [mm]-(0)^2[/mm] + 2
> mt = 2
>
> Steigung der Normalen:
> mn = -1 / mt
> mn = -1/2
> n(x) = -1/2 x
>
Korrekt
> Nun hab ich mir gedacht das ich die Schnittpunkte zur
> Berchnung des Integrals benötige. Also Gleichsetzen.
>
> n(x) = f(x)
>
> - 1/2x = - [mm]1/3x^3[/mm] + 2x
> 0 = x [mm](-1/3x^2[/mm] + 2,5)
>
> x1= 0
>
> 0 = [mm]-1/3x^2[/mm] + 2,5
>
> -7,5 = [mm]x^2[/mm]
>
> x2= [mm]\wurzel{7,5}[/mm]
> x3 = [mm]-\wurzel{7,5}[/mm]
Auch korrekt
>
> Jetzt zur eigentlichen Frage, wie genau berechne ich den
> Flächeninhalt zwischen Graph der Funktion und der
> Normalen? Ich berechne die zwei Integrale und ziehe sie
> dann voneinander ab oder wie?
>
Fast. Wenn du die Fläche berechnest, gibt es hier zwei Möglichkeiten:
1) Die Klassische Methode:
Also: [mm] A=|\integral_{-\wurzel{7,5}}^{0}(n(x)-f(x))|+|\integral_{0}^{\wurzel{7,5}}(f(x)-n(x))|
[/mm]
2)Oder, du nutzt die Symmetrie aus.
Also [mm] A=2*|\integral_{0}^{\wurzel{7,5}}(f(x)-n(x))|
[/mm]
> Vielen Dank schonmal im Voraus,
> ist echt ein super Forum hier.
>
> Gruss Lorenzo
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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