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| Aufgabe | Berechnen Sie die Stammfunktion:
[mm] \integral{\bruch{x^{2} + ax + 6}{(x-3)^{2}} dx} [/mm] für [mm] $a\in \IR [/mm] $ |
Hallo alle miteinander, ich komm mal wieder nicht weiter und bräuchte bitte eure Hilfe.
Da hier der Zählergrad gleich groß ist, wie der Nennergrad muss ich doch zuerst eine Polynomdivision durchführen:
[mm] $(x^{2} [/mm] + ax + [mm] 6):(x^{2}-6x+9) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9}$
[/mm]
Also hab ich nun folgendes Integral:
[mm] \integral{(1 + \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9})dx}
[/mm]
Jetz muss ich auch noch die Nullstelle vom Nenner suchen, da ja der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist:
[mm] $x^{2}-6x+9 [/mm] = 0$
[mm] x_{1,2} [/mm] = 3
Und nun muss eine Partialbruchzerlegung anstellen oder?
[mm] \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm]
Dann auf gemeinsamen Nenner bringen:
$(a+6)x-3 = A(x-3) + B(x-3)$
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
$(a+6)x-3 = (A+B)x - 3(A + B)$
Dann hab ich die Gleichungen:
$I: (a+6) = A + B$
$II: -3 = -3A - 3B$
Gut dann löse ich die Gleichungen auf:
[mm] $I_{1}: [/mm] (a+6)-B = A$
[mm] $II_{2}: [/mm] -3 = -3((a+6)-B)-3B$
[mm] $II_{2}: [/mm] -3 = -3(a+6) + 3B - 3B$
So jetzt hebt kürzt sich aber die Variable B weg und ich hab keine Variable mehr auszurechnen... Was hab ich falsch gemacht?
Danke im Voraus!
Lg
Wie gehts jetzt weiter?
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Hallo dreamweaver,
es scheint schon spät zu sein. 
> Berechnen Sie die Stammfunktion:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^{2} + ax + 6}{(x-3)^{2}} dx}[/mm] für [mm]a\in \IR[/mm]
>
> Hallo alle miteinander, ich komm mal wieder nicht weiter
> und bräuchte bitte eure Hilfe.
>
> Da hier der Zählergrad gleich groß ist, wie der
> Nennergrad muss ich doch zuerst eine Polynomdivision
> durchführen:
Jawoll. Ich habe sie aber nicht nachgerechnet.
> [mm](x^{2} + ax + 6):(x^{2}-6x+9) = 1 + \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9}[/mm]
>
> Also hab ich nun folgendes Integral:
>
> [mm]\integral{(1 + \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9})dx}[/mm]
>
> Jetz muss ich auch noch die Nullstelle vom Nenner suchen,
> da ja der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist:
Hm. Die (doppelte) Nullstelle war in der Vorlage doch direkt abzulesen. Was soll sich durch die Polynomdivision daran ändern?
> [mm]x^{2}-6x+9 = 0[/mm]
> [mm]x_{1,2}[/mm] = 3
Eben.
> Und nun muss eine Partialbruchzerlegung anstellen oder?
Eben, eben.
> [mm]\bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm]
Hmpf. Hier ist der Fehler. Wie sollte man da jemals A und B eindeutig bestimmen können, wenn sie auf dem gleichen Nenner herumstehen?
> Dann auf gemeinsamen Nenner bringen:
> [mm](a+6)x-3 = A(x-3) + B(x-3)[/mm]
>
> Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
> [mm](a+6)x-3 = (A+B)x - 3(A + B)[/mm]
>
> Dann hab ich die Gleichungen:
> [mm]I: (a+6) = A + B[/mm]
> [mm]II: -3 = -3A - 3B[/mm]
>
> Gut dann löse ich die Gleichungen auf:
> [mm]I_{1}: (a+6)-B = A[/mm]
> [mm]II_{2}: -3 = -3((a+6)-B)-3B[/mm]
> [mm]II_{2}: -3 = -3(a+6) + 3B - 3B[/mm]
>
> So jetzt hebt kürzt sich aber die Variable B weg und ich
> hab keine Variable mehr auszurechnen... Was hab ich falsch
> gemacht?
Dein Ansatz der PBZ für einen quadratischen Faktor im Nenner stimmt nicht. Schlag nochmal nach.
> Wie gehts jetzt weiter?
Du korrigierst Deinen Ansatz und rechnest nochmal, natürlich. 
Grüße
reverend
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> Hallo dreamweaver,
>
> es scheint schon spät zu sein.
>
> > Berechnen Sie die Stammfunktion:
> >
> > [mm]\integral{\bruch{x^{2} + ax + 6}{(x-3)^{2}} dx}[/mm] für [mm]a\in \IR[/mm]
>
> >
> > Hallo alle miteinander, ich komm mal wieder nicht weiter
> > und bräuchte bitte eure Hilfe.
> >
> > Da hier der Zählergrad gleich groß ist, wie der
> > Nennergrad muss ich doch zuerst eine Polynomdivision
> > durchführen:
>
> Jawoll. Ich habe sie aber nicht nachgerechnet.
>
> > [mm](x^{2} + ax + 6):(x^{2}-6x+9) = 1 + \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9}[/mm]
>
> >
> > Also hab ich nun folgendes Integral:
> >
> > [mm]\integral{(1 + \bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9})dx}[/mm]
> >
> > Jetz muss ich auch noch die Nullstelle vom Nenner suchen,
> > da ja der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist:
>
> Hm. Die (doppelte) Nullstelle war in der Vorlage doch
> direkt abzulesen. Was soll sich durch die Polynomdivision
> daran ändern?
>
> > [mm]x^{2}-6x+9 = 0[/mm]
> > [mm]x_{1,2}[/mm] = 3
>
> Eben.
>
> > Und nun muss eine Partialbruchzerlegung anstellen oder?
>
> Eben, eben.
>
> > [mm]\bruch{(a+6)x-3}{x^{2}-6x+9}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x-3}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm]
>
> Hmpf. Hier ist der Fehler. Wie sollte man da jemals A und B
> eindeutig bestimmen können, wenn sie auf dem gleichen
> Nenner herumstehen?
gg da ist natürlich etwas dran ja...
Sollte dann folgendes rauskommen:
[mm] \bruch{6+a}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{15 + 3a}{(x-3)^{2}}
[/mm]
Die Integration werd ich dann wohl noch schaffen hoffentlich!
Danke
Lg
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