Integral Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale, nachdem Sie zu jeweils
angepaßten Koordinaten übergegangen sind:
[mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}
[/mm]
Integrationsbereich: [mm] B={(x,y)|x{2}+y^{2}\le1} [/mm] mit [mm] x=y\ge0
[/mm]
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Die oben stehende Aufgabe bereitet mir einige Kopfschmerzen.
Aus dem Integrationsbereich ist ersichtlich, dass das Integral in Polarkoordinaten zu berechnen ist. Die Transformation ist dabei zunächst einmal kein Problem.
[mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-(x^{2}+y^{2})}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr d\phi}
[/mm]
mit [mm] r^{2}=x^{2}+y^{2} [/mm] und [mm] dA=rdrd\phi
[/mm]
Die Integrationsgrenzen werden dabei für die Integration nach r zu 0 bis 1 und für die Integration nach [mm] \phi [/mm] zu 0 bis [mm] \pi/2.
[/mm]
Es ergibt sich also als zu integrierende Funktion:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}\integral_{0}^{1}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr d\phi}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und wie geht es ab hier weiter?
Im Grunde ist es ja eine Verkettung mehrere Grundintegrale die sich einzeln beispielsweise durch Substitution von r gegen [mm] sin\gamma [/mm] lösen lassen. In dieser Form stehe ich jedoch absolut auf dem Schlauch.
Das r in die Wurzel zu ziehen führt zu keiner - für mich ersichtlichen - Erleichterung. Kürzen lässt sich leider scheinbar auch nichts mehr.
Vielen Dank im Vorraus für Lösungsvorschläge oder jegliche Ideen.
Gruß,
Magnus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 25.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale, nachdem Sie
> zu jeweils
> angepaßten Koordinaten übergegangen sind:
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}[/mm]
>
> Integrationsbereich: [mm]B={(x,y)|x{2}+y^{2}\le1}[/mm] mit [mm]x=y\ge0[/mm]
>
> Die oben stehende Aufgabe bereitet mir einige
> Kopfschmerzen.
>
> Aus dem Integrationsbereich ist ersichtlich, dass das
> Integral in Polarkoordinaten zu berechnen ist. Die
> Transformation ist dabei zunächst einmal kein Problem.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-(x^{2}+y^{2})}{1+x^{2}+y^{2}}} dx dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr d\phi}[/mm]
Die Grenzen, die du da hingeschrieben hast, sind Unsinn, du solltest
[mm] $\iint\limits_{B} \dots [/mm] $
schreiben.
> mit [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm] und [mm]dA=rdrd\phi[/mm]
>
> Die Integrationsgrenzen werden dabei für die Integration
> nach r zu 0 bis 1 und für die Integration nach [mm]\phi[/mm] zu 0
> bis [mm]\pi/2.[/mm]
>
> Es ergibt sich also als zu integrierende Funktion:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}\integral_{0}^{1}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr d\phi}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wie geht es ab hier weiter?
Führe erst einmal die triviale Integration über [mm] $\phi$ [/mm] aus. Und dann bietet sich, da unter der Wurzel überall [mm] $r^2$ [/mm] steht, eine Substitution an.
> Im Grunde ist es ja eine Verkettung mehrere Grundintegrale
> die sich einzeln beispielsweise durch Substitution von r
> gegen [mm]sin\gamma[/mm] lösen lassen.
Das versteh ich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 25.06.2008 | | Autor: | magir |
Danke für die Antwort. Die Hilfsbereitschaft hier ist wirklich grandios. :)
Das triviale äußere Integral ist in der Tat kein Problem.
Damit steht dann:
[mm] \pi/2 \integral_{0}^{1}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr} [/mm]
Auf Grund des Ausdruckes [mm] 1-r^{2} [/mm] bietet sich die Substitution r = [mm] sin\omega [/mm] an, da [mm] 1-sin^{2}\omega=cos^{2}\omega. [/mm]
Es gilt damit [mm] dr=cos\omega(-d\omega)
[/mm]
Vollständig angewendet ergibt sich damit:
[mm] \pi/2 \integral_{0}^{1}{-\wurzel {\bruch{1-sin^{2}\omega}{1+sin^{2}\omega}} sin\omega cos\omega d\omega}
[/mm]
[mm] =\pi/2 \integral_{0}^{1}{-\bruch{cos\omega}{\wurzel {1+sin^{2}\omega}} sin\omega cos\omega d\omega }
[/mm]
[mm] =\pi/2 \integral_{0}^{1}{-\bruch{cos^{2}\omega sin\omega}{\wurzel {1+sin^{2}\omega}} d\omega }
[/mm]
Die Integrationsgrenzen lassen sich auch substituieren, aber weiter bringt mich das, soweit ich das jetzt sehe, nicht.
[mm] \bruch{d\omega}{\wurzel {1+sin^{2}\omega}} [/mm] ist im Papula angegeben und auch kein Problem, aber leider steht hier im Zähler noch eine Menge.
Gruß,
Magnus
PS. Die Substitution mit dem sinus meinte ich auch mit dem nicht so verständlichen Teil.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 26.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort. Die Hilfsbereitschaft hier ist
> wirklich grandios. :)
>
>
> Das triviale äußere Integral ist in der Tat kein Problem.
> Damit steht dann:
>
> [mm]\pi/2 \integral_{0}^{1}{\wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}} rdr}[/mm]
>
> Auf Grund des Ausdruckes [mm] $1-r^{2}$ [/mm] bietet sich die Substitution $r = [mm] sin\omega$ [/mm] an, da
> [mm] $1-sin^{2}\omega=cos^{2}\omega$. [/mm] Es gilt damit [mm] $dr=cos\omega(-d\omega) [/mm] $.
Polynome durch trigonometrische Funktionen zu substituieren ist eher die falsche Richtung.
Nein, wegen des Terms r vor dem dr bietet sich erst einmal [mm] $u=r^2$ [/mm] an.
Am schnellsten führt
[mm] t = \wurzel {\bruch{1-r^{2}}{1+r^{2}}}[/mm]
zum Ziel.
Viele Grüße
Rainer
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