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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] $$\int\limits_{K_1(0)}\exp(-{\frac{1}{z^2}})\;dz$$ [/mm] |
Guten Abend,
ich bearbeite derzeit die obenstehende Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher, ob mein Lösungsansatz so passt:
[mm] $f(z):=\exp(-\frac{1}{z^2})$, [/mm] f besitzt an [mm] $z_0=0$ [/mm] eine wesentliche Singularität und ist holomorph auf [mm] $\overline{I(K_1(0))}\backslash\{z_0\}$.
[/mm]
[mm] ($I(K_1(0))$ [/mm] wird hier als das Innere der pos. orientierten geschl. Jordankurve [mm] $K_1(0)$ [/mm] (param. durch [mm] $z(t)=\exp(i*t),\;t\in[0,2\pi]$) [/mm] bezeichnet)
Damit sind die Voraussetzungen für die Anwendung des Residuensatzes erfüllt. Für die Laurentreihe von f im Entwichlungsunkt [mm] $z_0$ [/mm] erhalten wir:
[mm] $$\exp(-\frac{1}{z^2})=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_nz^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}z^{-2n}$$
[/mm]
Damit erhalten wir ja für unsere Koeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] mit geradem [mm] $k\leq0$:
[/mm]
[mm] $$a_k=\frac{(-1)^\frac{k}{2}}{\left(\frac{k}{2}\right)!}$$
[/mm]
und für die mit ungeradem [mm] $k\leq [/mm] 0$ (also insbesondere [mm] $a_{-1}$ [/mm] und für alle $k>0$:
[mm] $$a_k=0$$
[/mm]
damit gilt dann doch [mm] Res$(f,z_0)=a_{-1}=0$ [/mm] und damit:
[mm] $$\int\limits_{K_1(0)}f(z)\;dz=2\pi i\,\text{Res}(f,z_0)=0$$
[/mm]
Stimmt hier mein Lösungsweg?
Ich würde mich sehr über ein kleines Feedback freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie:
> [mm]\int\limits_{K_1(0)}\exp(-{\frac{1}{z^2}})\;dz[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich bearbeite derzeit die obenstehende Aufgabe und bin mir
> nicht ganz sicher, ob mein Lösungsansatz so passt:
>
> [mm]f(z):=\exp(-\frac{1}{z^2})[/mm], f besitzt an [mm]z_0=0[/mm] eine
> wesentliche Singularität und ist holomorph auf
> [mm]\overline{I(K_1(0))}\backslash\{z_0\}[/mm].
> ([mm]I(K_1(0))[/mm] wird hier als das Innere der pos. orientierten
> geschl. Jordankurve [mm]K_1(0)[/mm] (param. durch
> [mm]z(t)=\exp(i*t),\;t\in[0,2\pi][/mm]) bezeichnet)
> Damit sind die Voraussetzungen für die Anwendung des
> Residuensatzes erfüllt. Für die Laurentreihe von f im
> Entwichlungsunkt [mm]z_0[/mm] erhalten wir:
> [mm]\exp(-\frac{1}{z^2})=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_nz^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}z^{-2n}[/mm]
>
> Damit erhalten wir ja für unsere Koeffizienten [mm]a_k[/mm] mit
> geradem [mm]k\leq0[/mm]:
> [mm]a_k=\frac{(-1)^\frac{k}{2}}{\left(\frac{k}{2}\right)!}[/mm]
> und für die mit ungeradem [mm]k\leq 0[/mm] (also insbesondere
> [mm]a_{-1}[/mm] und für alle [mm]k>0[/mm]:
> [mm]a_k=0[/mm]
> damit gilt dann doch Res[mm](f,z_0)=a_{-1}=0[/mm] und damit:
> [mm]\int\limits_{K_1(0)}f(z)\;dz=2\pi i\,\text{Res}(f,z_0)=0[/mm]
>
> Stimmt hier mein Lösungsweg?
Ja, alles bestens
FRED
>
> Ich würde mich sehr über ein kleines Feedback freuen.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> DudiPupan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Do 31.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch ohne Residuensatz:
Die Reihe
$ [mm] \exp(-\frac{1}{z^2})=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_nz^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}z^{-2n} [/mm] $
konvergiert auf $ [mm] \IC \setminus \{0\}$ [/mm] kompakt, also darf man Integration und Summation vertauschen. Für n [mm] \ge [/mm] 2 hat
$z [mm] \to \bruch{1}{z^n}$
[/mm]
auf $ [mm] \IC \setminus \{0\}$ [/mm] eine Stammfunktion. Damit ist
$ [mm] \int\limits_{K_1(0)}\frac{1}{z^n}\;dz [/mm] =0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 31.07.2014 | | Autor: | DudiPupan |
Vielen lieben Dank fred97 für deine Antwort.
Hat mir sehr weitergeholfen!
Wünsche dir einen schönen Tag,
Liebe Grüße
DudiPupan
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