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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert des Integrals näherungsweise auf 3 Dezimalstellen.
hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig um die gewünschte Genauigkeit zu erhalten.
$ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{sin(u^{2})}{u} \* [/mm] du $ |
Also ich hab echt keine Ahnung wie man da beginnen soll , bzw. wie das zu lösen ist.
Bin wirklich für jeden ratschlag dankbar!
Hab im Netz noch diese Formel für die Taylorreihe vom sinus gefunden, ich denk mal die wird man hier brauchen.
$ sin(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] $
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo devilofdeath,
ich kann dir vllt nen Ansatz liefern:
Also du kannst die bekannte Reihendarstellung vom [mm] \sin [/mm] nehmen:
[mm] \sin(u)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Damit ist
[mm] \sin(u^2)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{\left(u^2\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+2}}{(2k+1)!}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{\sin(u^2)}{u}=\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+2}}{(2k+1)!}}{u}
[/mm]
Das [mm] \bruch{1}{u} [/mm] kannst du nun distributiv in die Summe rein ziehen:
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}\bruch{u^{4k+2}}{u}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+1}}{(2k+1)!}=u-\bruch{u^5}{3!}+\bruch{u^9}{5!}-\bruch{u^{13}}{7!}+\bruch{u^{17}}{9!}\pm [/mm] .....
Das Teil ist also quasi ein "unendliches" Polynom, und das kannst du doch integrieren mit der Potenzregel:
[mm] f(x)=x^n \Rightarrow \integral{f(x) dx}=\bruch{1}{n+1}x^{n+1} [/mm] für alle reellen [mm] n\ne [/mm] -1
Also [mm] \integral{\bruch{\sin(u^2)}{u} du}=\integral{\left(\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+1}}{(2k+1)!}\right)du}
[/mm]
Integriere mal die ersten paar Summanden, dann solltest du auf den Ausdruck:
[mm] \integral{\left(\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+1}}{(2k+1)!}\right)du}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+2}}{(4k+2)\cdot{}(2k+1)!} [/mm] kommen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Das Einsetzen der Grenzen und die Abschätzung der Genauigkeit überlasse ich dankend dir ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") 
Hoffe, das hilft etwas weiter
Gruß
schachuzipus
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......
> [mm]\integral{\left(\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+1}}{(2k+1)!}\right)du}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+2}}{(4k+2)\cdot{}(2k+1)!}[/mm]
> kommen, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
>
> Das Einsetzen der Grenzen und die Abschätzung der
> Genauigkeit überlasse ich dankend dir
----------------------------------- das zwischen den blauen linien ist mir doch klar :) wollte es nur nicht mehr weglöschen------------------------------
Also ich versteh nicht ganz wie du meinst die ersten paar Summanden integrieren. Bzw. wie du auf diese Formel kommst
[mm] \integral{\left(\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+1}}{(2k+1)!}\right)du}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{u^{4k+2}}{(4k+2)\cdot{}(2k+1)!}
[/mm]
Summanden schaun mal so aus
x - [mm] \bruch{x^{5}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{5!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{13}}{7!} [/mm] + ....
meinst du das mim Integrieren so :
[mm] \integral [/mm] {x} - [mm] \integral {\bruch{x^{5}}{3!}} [/mm] + [mm] \integral {\bruch{x^{9}}{5!}} [/mm] - .......
da kommt dann sowas raus
[mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{6}}{3! \* 6} [/mm] + [mm] \bruch{x^{10}}{5! \* 10} [/mm] - ........
ok mir ist schon alles klar wie man auf die formel kommt^^ jetzt beim nochmaligen durchlesen hab ichs verstanden :)
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Was ich noch nicht versteh ist, wie ich die Genauigkeit abschätzen / bzw. es noch einsetzen soll.
könntest du / bzw. jemand der zeit lust und das wissen dazu hat mir nochmal schnell auf die sprünge helfen?
Lg
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Danke für deine tolle Hilfe!
genauigkeit sind 3 nachkommastellen. Steht eh oben bei der Angabe.
Aber um auf 3 NKS genau zu werden brauch ich glaub ich ein bissl zu viele Summanden.... wenn man beim 5 schon im Millionstelbereich ist.
ich glaub ich geb mich mit dem zufrieden.
VIELEN DANK!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Do 22.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Probiere einmal die Simpsonregel:
Es gilt: [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) \, dx} \approx \bruch{b-a}{6}*\left(f(a) + 4*f(\bruch{a+b}{2}) + f(b)\right)$
[/mm]
Wenn du die jetzt auf das gesamte Intervall [0,1] anwendest, bekommst du
[mm] $\integral_{0}^{1}{\bruch{\sin(u^2)}{u} \, du} \approx \bruch{1}{6}\left(8*\sin(\bruch{1}{4}) + \sin(1)\right) [/mm] = 0.470117...$
Um die Genauigkeit zu erhöhen, kannst du das Intervall in Teilintervalle unterteilen und diese getrennt mit der Simpsonregel integrieren (die Ergebnisse werden addiert). Z. B. in [0,0.5] und [0.5,1]:
[mm] $\integral_{0}^{1}{\bruch{\sin(u^2)}{u} \, du} \approx \bruch{1}{12}\left(16*\sin(\bruch{1}{16}) + 2*\sin(\bruch{1}{4})\right) [/mm] + [mm] \bruch{1}{12}\left(2*\sin(\bruch{1}{4}) + \bruch{16}{3}*\sin(\bruch{9}{16}) + \sin(1)\right) [/mm] = 0.472893...$
Das Integral hat also auf die geforderten drei Dezimalen Genauigkeit den Wert 0.473.
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Vielen Dank für den Tip, aber Wir sollen das ganze mit der Taylorreihe machen.
Simpson wird, denk ich einmal etwas später erst kommen.
LG
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
genauso meinte ich das - wenn du das als unendliche Summe schreibst, kommt der Ausdruck raus, den ich oben erwähnt habe
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
