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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Fr 27.05.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] I=\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)} [/mm]
mit Hilfe einerTransformation in Polarkoordinaten
[mm] \IR^{+}\times(0,2\pi)\to\IR^{2}, (r,\phi)\mapsto(x,y)=(rcos\phi, rsin\phi) [/mm] (*) |
Guten Morgen, bei obiger Aufgabe hänge ich ein bisschen beim Verständnis der Transformation, vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen. DANKE!
[mm] \integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dx dy} [/mm]
Polarkoordinaten: [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-((rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2(cos^2\phi+sin^2\phi))} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-r^2} dx dy}= \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy}
[/mm]
das letzte = kann ich nicht ganz nachvollziehen. Vieleicht könnt Ihr mir das etwas genauer erhlären. DANKE!
Oder kann ich mir das so erklären: da der Radius r>0 sein muss, reicht es aus das Intergral von 0 bis [mm] \infty [/mm] zu betrachten und da [mm] \phi [/mm] bei sin und cos in [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist, sich also wiederholt reicht hier das Integral von 0 und [mm] 2\pi? [/mm] Das würde dann ja auch (*) aus der Aufgabenstellung entsprechen. Aber wie kann ich mir das "zusätzliche" r im Integral erklären?
weiter lässt sich das Integral dann mit Fubini und Substitution recht gut berechnen und ich erhalte [mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy}=\pi.
[/mm]
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> Berechnen Sie [mm]I=\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}[/mm]
> mit Hilfe einerTransformation in Polarkoordinaten
> [mm]\IR^{+}\times(0,2\pi)\to\IR^{2}, (r,\phi)\mapsto(x,y)=(rcos\phi, rsin\phi)[/mm]
> (*)
> Guten Morgen, bei obiger Aufgabe hänge ich ein bisschen
> beim Verständnis der Transformation, vielleicht könnt Ihr
> mir da weiterhelfen. DANKE!
>
> [mm]\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dx dy}[/mm]
>
> Polarkoordinaten: [mm]x=rcos\phi, y=rsin\phi[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-((rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2(cos^2\phi+sin^2\phi))} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-r^2} dx dy}= \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy}[/mm]
>
> das letzte = kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Du hast diesen Schritt auch nicht richtig notiert.
Das dx dy muss durch das Flächenelement in r und [mm] \phi
[/mm]
ersetzt werden.
> Vielleicht könnt Ihr mir das etwas genauer erhlären. DANKE!
> Oder kann ich mir das so erklären: da der Radius r>0 sein
> muss, reicht es aus das Intergral von 0 bis [mm]\infty[/mm] zu
> betrachten und da [mm]\phi[/mm] bei sin und cos in [mm]2\pi[/mm] periodisch
> ist, sich also wiederholt reicht hier das Integral von 0
> und [mm]2\pi?[/mm] Das würde dann ja auch (*) aus der
> Aufgabenstellung entsprechen. Aber wie kann ich mir das
> "zusätzliche" r im Integral erklären?
Hallo Schobbi,
es scheint, dass dir nur noch nicht ganz klar ist, dass man
bei der Koordinatentransformation auch das Differential
transformieren muss. Im vorliegenden Fall gilt:
dx dy = [mm] r*dr*d\phi
[/mm]
(https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Fl.C3.A4chenelement)
Ferner: um die gesamte Ebene abzudecken, müssen zwar
die beiden kartesischen Koordinaten je von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] laufen;
bei den Polarkoordinaten eben r nur von 0 bis [mm] +\infty [/mm] und [mm] \phi
[/mm]
von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] . Das kannst du dir anschaulich sofort klar
machen.
LG , Al-Chw.
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und dann passts!!
