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| Aufgabe | | Durch Rotation der Funktion f(x)= [mm] \bruch{4}{2-x} [/mm] für [mm] x\varepsilon [/mm] (0;1) um die y-Achse entstehe der Rotationskörper Ky. Berechnen Sie sein Volumen Vy. |
Hi,
Formel: Vy= [mm] \pi* \integral_{a}^{b}{g^2 (y) dy}
[/mm]
Ich habe zuerst die neuen Integralgrenzen ausgerechnet.
f(0)=2
f(1)=4
Umkehrfunktion:
[mm] y=\bruch{4}{2-x}
[/mm]
x= y- [mm] \bruch{4}{y}
[/mm]
dann für die Formel quadriert also [mm] x^{2}= y^{2} [/mm] + [mm] 16y^{-1}
[/mm]
Stimmt das bisher ?
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> Durch Rotation der Funktion f(x)= [mm]\bruch{4}{2-x}[/mm] für
> [mm]x\varepsilon[/mm] (0;1) um die y-Achse entstehe der
> Rotationskörper Ky. Berechnen Sie sein Volumen Vy.
>
> Hi,
>
> Formel: Vy= [mm]\pi* \integral_{a}^{b}{g^2 (y) dy}[/mm]
>
> Ich habe zuerst die neuen Integralgrenzen ausgerechnet.
> f(0)=2
> f(1)=4
>
> Umkehrfunktion:
> [mm]y=\bruch{4}{2-x}[/mm]
> x= [mm] \red{y}-[/mm] [mm]\bruch{4}{y}[/mm]
x= 2 - [mm]\bruch{4}{y}[/mm]
> dann für die Formel quadriert also [mm]x^{2}= y^{2}[/mm] +
> [mm]16y^{-1}[/mm]
[mm] \red{AuAuAuAuAu}
[/mm]
BINOOOOOOMISCHE FORMELLLLLLLLL!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Stimmt das bisher ?
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Ups,
Ja stimmt hast recht
[mm] (y-\bruch{4}{y})^2 [/mm] = [mm] y^2 +\bruch{16}{y^2} [/mm] -8
Vy= [mm] \pi \integral_{2}^{4}{ y^2 +\bruch{16}{y^2} -8 dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{3}y^3 -16y^{-1} [/mm] -8y)
[mm] =\pi [/mm] * ( [mm] -\bruch{44}{3} [/mm] - [mm] (-\bruch{64}{3}))
[/mm]
= [mm] =\pi [/mm] * [mm] \bruch{20}{3}
[/mm]
Richtig oder Falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 So 18.01.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ups,
>
> Ja stimmt hast recht
> [mm](y-\bruch{4}{y})^2[/mm] = [mm]y^2 +\bruch{16}{y^2}[/mm] -8
Gehe mit der korrekten Umkehrfunktion [mm] g(y)=2-\frac{4}{y} [/mm] an die Aufgabe heran.
Also
[mm] g^{2}(y)=\left(2-\frac{4}{y}\right)^{2}=4-\frac{4}{y}+\frac{16}{y^{2}}
[/mm]
>
> Vy= [mm]\pi \integral_{2}^{4}{ y^2 +\bruch{16}{y^2} -8 dx}[/mm]
> =
> [mm]\pi[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{3}y^3 -16y^{-1}[/mm] -8y)
> [mm]=\pi[/mm] * ( [mm]-\bruch{44}{3}[/mm] - [mm](-\bruch{64}{3}))[/mm]
> = [mm]=\pi[/mm] * [mm]\bruch{20}{3}[/mm]
>
> Richtig oder Falsch?
Falsch, da die Unkehrfunktion noch falsch war.
[mm] V_{y}=\pi\cdot\int\limits_{2}^{4}4-\frac{4}{y}+\frac{16}{y^{2}}dy=\ldots
[/mm]
Marius
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Hey Rex, eine letzte frage hast du einfach y und x vertauscht?
Wie würdest du es machen wenn du nach y auflösen würdest?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 18.01.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Hey Rex, eine letzte frage hast du einfach y und x
> vertauscht?
> Wie würdest du es machen wenn du nach y auflösen
> würdest?
Wenn du [mm] y=\bruch{4}{2-x} [/mm] nach x auflösen willst - nichts anderes machst du ja bei der Bestimmung der Umkehrfunktion - gehe wie folgt vor.
Multipliziere zuerst mit (2-x), dann dividiere durch y, dann subtrahiere 2, danach multipliziere mit (-1).
Dann hast du [mm] x=2-\frac{4}{y}
[/mm]
Und das fürht zur Umkehrfunktion [mm] g(y)=2-\frac{4}{y}
[/mm]
Marius
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[mm] V_{y}=\pi\cdot\int\limits_{2}^{4}4-\frac{4}{y}+\frac{16}{y^{2}}dy
[/mm]
Bei mir kommt nicht das raus... wenn ich (2-4/y)* (2-4/y) mache dann bekomme ich [mm] 4-\bruch{16}{y} [/mm] + [mm] \bruch{16}{y^2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 18.01.2015 | | Autor: | M.Rex |
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> [mm]V_{y}=\pi\cdot\int\limits_{2}^{4}4-\frac{4}{y}+\frac{16}{y^{2}}dy[/mm]
>
> Bei mir kommt nicht das raus... wenn ich (2-4/y)* (2-4/y)
> mache dann bekomme ich [mm]4-\bruch{16}{y}[/mm] + [mm]\bruch{16}{y^2}[/mm]
Du hast recht, sorry
[mm] \left(2-\frac{4}{y}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =4-\fraac{16}{y}+\frac{16}{y^{2}}
[/mm]
Marius
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