Integral ableiten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Differentialrechnung die Ableitungen der Funktionen I: [mm] \IR^{+} \to \IR
[/mm]
[mm] \integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{cos(xt)}{t} dt}
[/mm]
[mm] \integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{sin(t)}{t} dt} [/mm] |
Ich weiss bisher nur, dass beide Funktionen nicht integrierbar sind.
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Hallo,
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der
> Differentialrechnung die Ableitungen der Funktionen I:
> [mm]\IR^{+} \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{cos(xt)}{t} dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{sin(t)}{t} dt}[/mm]
> Ich weiss
> bisher nur, dass beide Funktionen nicht integrierbar sind.
Hm, warum sollen die 'nicht integrierbar' sein, weißt du überhaupt, was das bedeutet? Ich denke, du meinst, dass jeweils keine geschlossene darstellbare Stammfunktion existiert, und das ist etwas völlig anderes!
Im übrigen muss man hier keinerlei Integral berechnen, wenn man die Aufgabenstellung aufmerksam durchliest:
- Was genau solst du ausrechnen?
- Welchen Satz sollst du verwenden und was genau besagt dieser Satz?
Kläre diese beiden Fragen, und dur wirst mir Recht geben, dass die Aufgabe damit sehr einfach wird.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
der Fundamentalsatz besagt ,dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a) ist
ich muss also F(b) - F(a) ableiten aber dazu brauche icb doch die Stammfunktion oder ?
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> der Fundamentalsatz besagt ,dass [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> = F(b) - F(a) ist
>
> ich muss also F(b) - F(a) ableiten aber dazu brauche icb
> doch die Stammfunktion oder ?
Nein, du brauchst hier für diese Frage keine konkrete
Formel dafür.
Ausnahmsweise genügt es hier nämlich einmal, wenn
do bloß so tust, als ob du eine solche Funktion
hättest. Da nämlich die Integranden (wenigstens für
[mm] t\not= [/mm] 0 ) stetige Funktionen sind, garantieren
mathematische Sätze, dass es eine Stammfunktion
geben muss. Dann können wir uns eine dieser (uns im
Prinzip zwar noch nicht im Detail bekannten) Stamm-
funktionen vornehmen und sie meinetwegen auch "taufen":
nennen wir sie einfach einmal "F" .
Dann hast du das Integral, nennen wir es I(x):
$\ I(x)\ =\ [mm] \integral_{2x}^{2x+1} [/mm] Integrand(t)\ dt\ =\ F(2x+1)-F(2x)$
Gesucht ist die Ableitung I'(x), also:
$\ I'(x)\ =\ (F(2x+1)-F(2x))'\ =\ ...........\ ?$
So, nun bist wieder du dran !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
> > der Fundamentalsatz besagt ,dass [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> > = F(b) - F(a) ist
> >
> > ich muss also F(b) - F(a) ableiten aber dazu brauche icb
> > doch die Stammfunktion oder ?
>
>
> Nein, du brauchst hier für diese Frage keine konkrete
> Formel dafür.
> Ausnahmsweise genügt es hier nämlich einmal, wenn
> do bloß so tust, als ob du eine solche Funktion
> hättest. Da nämlich die Integranden (wenigstens für
> [mm]t\not=[/mm] 0 ) stetige Funktionen sind, garantieren
> mathematische Sätze, dass es eine Stammfunktion
> geben muss. Dann können wir uns eine dieser (uns im
> Prinzip zwar noch nicht im Detail bekannten) Stamm-
> funktionen vornehmen und sie meinetwegen auch "taufen":
> nennen wir sie einfach einmal "F" .
>
> Dann hast du das Integral, nennen wir es I(x):
>
> [mm]\ I(x)\ =\ \integral_{2x}^{2x+1} Integrand(t)\ dt\ =\ F(2x+1)-F(2x)[/mm]
>
> Gesucht ist die Ableitung I'(x), also:
>
> [mm]\ I'(x)\ =\ (F(2x+1)-F(2x))'\ =\ ...........\ ?[/mm]
>
> So, nun bist wieder du dran !
f(2x+1) - f(2x) ?
>
> LG , Al-Chw.
>
>
>
>
>
>
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> > [mm]\ I(x)\ =\ \integral_{2x}^{2x+1} Integrand(t)\ dt\ =\ F(2x+1)-F(2x)[/mm]
>
> >
> > Gesucht ist die Ableitung I'(x), also:
> >
> > [mm]\ I'(x)\ =\ (F(2x+1)-F(2x))'\ =\ ...........\ ?[/mm]
> >
> > So, nun bist wieder du dran !
>
> f(2x+1) - f(2x) ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vorsicht: Kettenregel nicht vergessen !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
> > > [mm]\ I(x)\ =\ \integral_{2x}^{2x+1} Integrand(t)\ dt\ =\ F(2x+1)-F(2x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gesucht ist die Ableitung I'(x), also:
> > >
> > > [mm]\ I'(x)\ =\ (F(2x+1)-F(2x))'\ =\ ...........\ ?[/mm]
> > >
> > > So, nun bist wieder du dran !
> >
> > f(2x+1) - f(2x) ?
>
stimmt die äußere Ableitung?
mit Kettenregel kriege ich raus:
2(f(2x+1)) - 2(f(2x))
>
> Vorsicht: Kettenregel nicht vergessen !
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Do 19.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > [mm]\ I(x)\ =\ \integral_{2x}^{2x+1} Integrand(t)\ dt\ =\ F(2x+1)-F(2x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Gesucht ist die Ableitung I'(x), also:
> > > >
> > > > [mm]\ I'(x)\ =\ (F(2x+1)-F(2x))'\ =\ ...........\ ?[/mm]
> >
> > >
> > > > So, nun bist wieder du dran !
> > >
> > > f(2x+1) - f(2x) ?
> >
>
> stimmt die äußere Ableitung?
>
> mit Kettenregel kriege ich raus:
>
> 2(f(2x+1)) - 2(f(2x))
Ja
FRED
>
> >
> > Vorsicht: Kettenregel nicht vergessen !
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
nehme ich jetzt für f das Integrand cos(xt)/t und setze 2x+1 und 2x ein oder wie geht es jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 19.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nehme ich jetzt für f das Integrand cos(xt)/t und setze
> 2x+1 und 2x ein oder wie geht es jetzt weiter?
bei der zweiten Aufgabe ist einfach [mm] $f(t)=\sin(t)/t$ [/mm] zu verwenden, dann ist die
zugehörige Ableitung einfach
$x [mm] \mapsto 2*\left(f(2x+1)-f(2x)\right)=...$
[/mm]
(kannst Du sicher selbst vervollständigen?!).
Bei der ersten Aufgabe habe ich Dich schonmal gefragt, ob da wirklich [mm] $\cos(\red{x}t)/t$ [/mm] beim
Integranden steht. Falls ja: Schau' erstmal nach, ob der Aufgabensteller
dann mittlerweile die Aufgabenstellung korrigiert hat...
Falls die Aufgabe wirklich weiterhin so da steht: Sei [mm] $u=u_x(t):=xt\,,$ [/mm] dann
[mm] $\int (\cos(xt)/t)\,dt=\int \frac{x*\cos(u)}{u}\,\frac{du}{x}=\int \frac{\cos(u)}{u}\,du$
[/mm]
Bei Dir also - unter Beachtung von $t=2x [mm] \Rightarrow u(t)=x*(2x)=2x^2$ [/mm] und $t=2x+1 [mm] \Rightarrow u(t)=x*(2x+1)=2x^2+x$:
[/mm]
[mm] $\int_{2x}^{2x+1} \frac{\cos(xt)}{t}\,dt=\int_{u(t=2x)}^{u(t=2x+1)} \frac{\cos(u)}{u} \,du=\int_{u=2x^2}^{u=2x^2+x} \frac{\cos(u)}{u} \,du$
[/mm]
Damit solltest Du dann zum Ende kommen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 19.09.2013 | | Autor: | melodie |
> Hallo,
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> > nehme ich jetzt für f das Integrand cos(xt)/t und setze
> > 2x+1 und 2x ein oder wie geht es jetzt weiter?
>
> bei der zweiten Aufgabe ist einfach [mm]f(t)=\sin(t)/t[/mm] zu
> verwenden, dann ist die
> zugehörige Ableitung einfach
>
> [mm]x \mapsto 2*\left(f(2x+1)-f(2x)\right)=...[/mm]
>
> (kannst Du sicher selbst vervollständigen?!).
2 ( [mm] \bruch{sin(2x+1)}{2x+1} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2x)}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{2sin(2x+1)}{2x+1} [/mm] - [mm] \bruch{sin(2x)}{x}
[/mm]
>
> Bei der ersten Aufgabe habe ich Dich schonmal gefragt, ob
> da wirklich [mm]\cos(\red{x}t)/t[/mm] beim
> Integranden steht. Falls ja: Schau' erstmal nach, ob der
> Aufgabensteller
> dann mittlerweile die Aufgabenstellung korrigiert hat...
>
> Falls die Aufgabe wirklich weiterhin so da steht: Sei
> [mm]u=u_x(t):=xt\,,[/mm] dann
>
> [mm]\int (\cos(xt)/t)\,dt=\int \frac{x*\cos(u)}{u}\,\frac{du}{x}=\int \frac{\cos(u)}{u}\,du[/mm]
>
> Bei Dir also - unter Beachtung von [mm]t=2x \Rightarrow u(t)=x*(2x)=2x^2[/mm]
> und [mm]t=2x+1 \Rightarrow u(t)=x*(2x+1)=2x^2+x[/mm]:
>
> [mm]\int_{2x}^{2x+1} \frac{\cos(xt)}{t}\,dt=\int_{u(t=2x)}^{u(t=2x+1)} \frac{\cos(u)}{u} \,du=\int_{u=2x^2}^{u=2x^2+x} \frac{\cos(u)}{u} \,du[/mm]
>
> Damit solltest Du dann zum Ende kommen...
ich habe gerechnet:
[mm] (F(2x^{x}+x) [/mm] - [mm] F(2x^{x}))'= f(2x^{x}+x)(4x+1) [/mm] - [mm] f(2x^{x})(4x)
[/mm]
[mm] \bruch{cos(2x^{x}+x)(4x+1)}{2x^{x}+x} [/mm] - [mm] \bruch{cos(2x^{x})(4x)}{4x}
[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Do 19.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > nehme ich jetzt für f das Integrand cos(xt)/t und setze
> > > 2x+1 und 2x ein oder wie geht es jetzt weiter?
> >
> > bei der zweiten Aufgabe ist einfach [mm]f(t)=\sin(t)/t[/mm] zu
> > verwenden, dann ist die
> > zugehörige Ableitung einfach
> >
> > [mm]x \mapsto 2*\left(f(2x+1)-f(2x)\right)=...[/mm]
> >
> > (kannst Du sicher selbst vervollständigen?!).
>
>
> 2 ( [mm]\bruch{sin(2x+1)}{2x+1}[/mm] - [mm]\bruch{sin(2x)}{2x}[/mm] =
> [mm]\bruch{2sin(2x+1)}{2x+1}[/mm] - [mm]\bruch{sin(2x)}{x}[/mm]
das sieht doch gut aus.  ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Bei der ersten Aufgabe habe ich Dich schonmal gefragt, ob
> > da wirklich [mm]\cos(\red{x}t)/t[/mm] beim
> > Integranden steht. Falls ja: Schau' erstmal nach, ob
> der
> > Aufgabensteller
> > dann mittlerweile die Aufgabenstellung korrigiert hat...
> >
> > Falls die Aufgabe wirklich weiterhin so da steht: Sei
> > [mm]u=u_x(t):=xt\,,[/mm] dann
> >
> > [mm]\int (\cos(xt)/t)\,dt=\int \frac{x*\cos(u)}{u}\,\frac{du}{x}=\int \frac{\cos(u)}{u}\,du[/mm]
>
> >
> > Bei Dir also - unter Beachtung von [mm]t=2x \Rightarrow u(t)=x*(2x)=2x^2[/mm]
> > und [mm]t=2x+1 \Rightarrow u(t)=x*(2x+1)=2x^2+x[/mm]:
> >
> > [mm]\int_{2x}^{2x+1} \frac{\cos(xt)}{t}\,dt=\int_{u(t=2x)}^{u(t=2x+1)} \frac{\cos(u)}{u} \,du=\int_{u=2x^2}^{u=2x^2+x} \frac{\cos(u)}{u} \,du[/mm]
>
> >
> > Damit solltest Du dann zum Ende kommen...
>
> ich habe gerechnet:
>
> [mm](F(2x^{x}+x)[/mm] - [mm]F(2x^{x}))'= f(2x^{x}+x)(4x+1)[/mm] -
> [mm]f(2x^{x})(4x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{cos(2x^{x}+x)(4x+1)}{2x^{x}+x}[/mm] -
> [mm]\bruch{cos(2x^{x})(4x)}{4x}[/mm]
Hier nimmst Du vielleicht doch besser die von Fred erwähnte Regel - ich
habe nicht bedacht, dass [mm] $u_x(t)=xt\,$ [/mm] ja natürlich von [mm] $x\,,$ [/mm] der Variablen,
nach der differenziert werden soll, abgeleitet wird. Ich habe also in meiner
Rechnung einfach mal [mm] $x\,$ [/mm] "in ungerechtfertigter Weise wie einen
Parameter behandelt" - von daher stimmt meine Rechnung nicht (die
Substitution ist nicht wirklich so erlaubt bzw. ich täusche vor, dass das [mm] $u\,$
[/mm]
von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängig wäre, was es aber offensichtlich nicht ist ... ich hatte
da vorhin zu wenig drüber nachgedacht! Man (Fred?!) kann die Antwort
ruhig mit einem entsprechenden Hinweis als falsch markieren...)
Allerdings hast Du immer noch nicht meine (zweimalige(!!!)) Nachfrage
beantwortet, ob die Aufgabe korrekt wiedergegeben wurde.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 19.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Schau da mal rein:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII_SS2009/Paraint.pdf
Insbes. Satz 25
FRED
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> Bestimmen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der
> Differentialrechnung die Ableitungen der Funktionen I:
> [mm]\IR^{+} \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{cos(xt)}{t} dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{sin(t)}{t} dt}[/mm]
> Ich weiss
> bisher nur, dass beide Funktionen nicht integrierbar sind.
Hallo, mit "nicht integrierbar" meinst du hier wohl
einfach, dass man hier nicht mit einer der gewohnten
Integrationstechniken eine geschlossene Formel für
eine Stammfunktion ermitteln kann.
Grundsätzlich integrierbar (z.B. im Sinn von Riemann)
sind die vorliegenden Funktionen aber sehr wohl, ausser
über die Stelle t=0 hinweg (mindestens in Bsp. 1).
Tatsächlich existiert aber gerade z.B. für das Integral im
2. Beispiel eine Stammfunktion in "geschlossener" Form,
nämlich durch die Funktion ![[]](/images/popup.gif) Si (Integralsinus) , welche
für spezielle Zwecke eigens definiert wurde und in der
höheren Mathematik verwendet wird.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Do 19.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der
> Differentialrechnung die Ableitungen der Funktionen I:
> [mm]\IR^{+} \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{cos(xt)}{t} dt}[/mm]
steht da wirklich [mm] $\cos(\red{\;x\;}t)$ [/mm] im Integranden?
> [mm]\integral_{2x}^{2x+1}{\bruch{sin(t)}{t} dt}[/mm]
> Ich weiss
> bisher nur, dass beide Funktionen nicht integrierbar sind.
??
Schlag' mal den erwähnten Fundamentalsatz nach. Und als Tipp am Rande:
Unter gewissen Voraussetzungen gilt halt: Für
[mm] $f(x):=\int_{u(x)}^{v(x)}g(t)\,dt$
[/mm]
gilt
[mm] $f\,'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=g(v(x))*v\,'(x)-g(u(x))*u\,'(x)\,.$
[/mm]
(Warum?)
Gruß,
Marcel
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