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Hallo zusammen,
ich suche eine analytische Lösung für das folgende Integral
[mm] $$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \; [/mm] dx$$
Mit einer Substitution von trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen bin ich bisher nicht weitergekommen.
Als Lösung rauskommen sollte
[mm] \frac{1}{2}\arctan(x)-\frac{x}{2(1+x^2)}
[/mm]
Viele Grüße
Patrick
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Hallo XPatrickX,
> Hallo zusammen,
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> ich suche eine analytische Lösung für das folgende
> Integral
> [mm]\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \; dx[/mm]
Solche Integrale löst man mit der Substitution [mm]z=\tan\left(x\right)[/mm]
>
> Mit einer Substitution von trigonometrischen oder
> hyperbolischen Funktionen bin ich bisher nicht
> weitergekommen.
>
> Als Lösung rauskommen sollte
> [mm]\frac{1}{2}\arctan(x)-\frac{x}{2(1+x^2)}[/mm]
>
>
> Viele Grüße
> Patrick
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower und danke bisher,
> >
> > ich suche eine analytische Lösung für das folgende
> > Integral
> > [mm]\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \; dx[/mm]
>
>
> Solche Integrale löst man mit der Substitution
> [mm]z=\tan\left(x\right)[/mm]
>
Dann ist ja [mm] x=\arctan(z) [/mm] und wenn ich das in mein Integral einsetze kommt aber nichts schönes raus, oder?
Oder meinst du die Substitution [mm] x=\tan(z), [/mm] sodass [mm] dx/dz=1+\tan^2(z) [/mm] und ich als neues Integralkern [mm] \frac{\tan(z)}{1+\tan^2(z)} [/mm] erhalte. Das kann ich immer noch nicht integrieren....
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Hallo,
da hast du die Substitution aber nur halb ausgeführt. Wird eigentlich recht schnell ziemlich leicht:
[mm] x:=\tan(z) \gdw dx=\sec^{2}(z)dz=(1+\tan^{2}(z))dz
[/mm]
und [mm] \sec(z)=\frac{1}{\cos(z)}
[/mm]
Das Integral wird also
[mm] \int{\frac{tan^{2}(z)}{(1+tan^{2}(z))^2}*(1+\tan^{2}(z))dz}=\int{\frac{\tan^{2}(z)}{\sec^{2}(z)}dz}=\int{\frac{\sin^{2}(z)}{\cos^{2}(z)}*\cos^{2}(z)dz}=\int{\sin^{2}(z)dz}
[/mm]
So nu hau rein !
LG
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