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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Mo 10.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx}= [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe das mal so angefangen:
[mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin2x*sin2x \ \ dx}[/mm]
Dann habe ich die partielle Integration angewandt mit:
[mm]f(x)=sin2x \ \ f'(x)=2cos2x[/mm]
[mm]g(x)=-\bruch{1}{2}cos2x \ \ g'(x)=sin2x[/mm]
Das ergibt dann insgesamt:
[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}*[sin2x*(-\bruch{1}{2}cos2x)]_a^b - \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{2cos2x*(-\bruch{1}{2}cos2x) \ \ dx}[/mm]
[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{8}*[sin2x*cos2x)]_a^b + \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}x \ \ dx}[/mm]
Jetzt erst Mal die Frage: ist das bis hierher richtig gerechnet oder hat sich ein Fehler eingeschlichen?
Als nächstes würde ich den Trick anwenden, dass ich auf beiden Seiten der Gleichung das Integral [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] addieren würde und den trigonometrischen Pythagoras [mm]sin^{2}2x+cos^{2}2x=1[/mm] anwenden.
Ich freue mich sehr auf eure Kommentare!
Viele Grüße, Andreas
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Du hast alles richtig gemacht.
Auf beiden Seiten musst du aber natürlich [mm]+\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}[/mm]
rechnen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mo 10.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Stefan, vielen Dank für Deine schnelle Antwort 
OK, dann mal weiter:
$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] $
Wir addieren also auf beiden Seiten $ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx} [/mm] $ und erhalten:
$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}$
[/mm]
jetzt wenden wir auf der rechten Seite den trigonometrischen Pythagoras an und erhalten:
$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}[x]_a^b$
[/mm]
Wir multiplizieren beide Seiten mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und erhalten:
$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}[x]_a^b [/mm] = [mm] -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}$
[/mm]
Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?
Viele Grüße, Andreas
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> [mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b + \bruch{1}{8}[x]_a^b = -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}[/mm]
>
> Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?
Hallo,
das sieht sehr richtig aus, und ich finde, daß man es eigentlich so stehenlassen kann.
Wenn man will, kann man [mm] [sin2x\cdot{}cos2x)] [/mm] noch schreiben als Faktor*sin(4x).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 10.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Liebe Angela, vielen Dank für Deine Kontrolle.
Du meinst also [mm] [sin2x\cdot{}cos2x] = \bruch{sin4x}{2} [/mm] wenn ich Dich richtig verstehe.
Viele Grüße nach Kaiserslautern, Andreas
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