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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 25.03.2009
Autor: Der-Madde-Freund

Hi, mein Integral lautet wie folgt: [mm] \integral{\bruch{\wurzel{x}}{6\wurzel[3]{x}+6} dx}. [/mm] Als Tipp: [mm] x:=u^6 [/mm]

Wenn [mm] x:=u^6 [/mm] dann folgt ja [mm] \bruch{dx}{du}=6u^5 [/mm]

=>  [mm] \integral{\bruch{\wurzel{u^6}}{6\wurzel[3]{u^6}+6} \cdot 6u^5 du} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{u^3 \cdot u^5}{u²+6} du} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{u^8}{u²+6} du} [/mm]

Da Zählergrad [mm] \ge [/mm] Nennergrad, würde ich eine Polynomendivision durchführen:

[mm] u^8 [/mm] : (u²+6) = [mm] u^6-6u^4+36u²-216+\bruch{1296}{u²+6} [/mm]

= [mm] \integral{u^6-6u^4+36u²-216+\bruch{1296}{u²+6} du} [/mm]

So von allen Summanden kann ich nun relativ einfach die Stammfunktuion angeben, außer vom letzten. Wie muss ich hier weiter verfahren?

        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 25.03.2009
Autor: MathePower

Hallo Der-Madde-Freund,

> Hi, mein Integral lautet wie folgt:
> [mm]\integral{\bruch{\wurzel{x}}{6\wurzel[3]{x}+6} dx}.[/mm] Als
> Tipp: [mm]x:=u^6[/mm]
>  
> Wenn [mm]x:=u^6[/mm] dann folgt ja [mm]\bruch{dx}{du}=6u^5[/mm]
>  
> =>  [mm]\integral{\bruch{\wurzel{u^6}}{6\wurzel[3]{u^6}+6} \cdot 6u^5 du}[/mm]

> = [mm]\integral{\bruch{u^3 \cdot u^5}{u²+6} du}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{u^8}{u²+6} du}[/mm]


Das Integral muß doch so lauten:

[mm]\integral{\bruch{u^8}{u²+\red{1}} \ du}[/mm]


>  
> Da Zählergrad [mm]\ge[/mm] Nennergrad, würde ich eine
> Polynomendivision durchführen:
>
> [mm]u^8[/mm] : (u²+6) = [mm]u^6-6u^4+36u²-216+\bruch{1296}{u²+6}[/mm]
>  
> = [mm]\integral{u^6-6u^4+36u²-216+\bruch{1296}{u²+6} du}[/mm]
>  
> So von allen Summanden kann ich nun relativ einfach die
> Stammfunktuion angeben, außer vom letzten. Wie muss ich
> hier weiter verfahren?


Nun, den letzten Integranden löst Du  wieder mit einer Substitution.


Gruß
MathePower

Bezug
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