Integral berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 24.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega_1:=\Omega_2:=\IN, F_1:=F_2:=\wp(\IN) [/mm] und [mm] \mu_1:=\mu_2:=\sum_{n=1}^{\infty} \epsilon_n, [/mm] wobei [mm] \epsilon_n [/mm] das Dirac-Maß in [mm] n\in \IN [/mm] ist sowie [mm] X(i,j):=\begin{cases}
0 & \text{falls }j\notin\{i,i+1\},\\
-1 & \text{falls } j=i+1, \\
1 & \text{falls } j=i,
\end{cases} \forall (i,j)\in \IN².
[/mm]
Berechnen Sie die beiden Integrale [mm] \integral(\integral X(\omega_1,\omega_2)\mu_1(d\omega_1))\mu_2(d\omega_2) [/mm] und [mm] \integral(\integral X(\omega_1,\omega_2)\mu_2(d\omega_2))\mu_1(d\omega_1). [/mm] |
Hallo MatheRaum-Team,
ich würde sehr gerne einen ersten Lösungsansatz präsentieren, aber ich bin hier völlig aufgeschmissen, denn es fehtl mir jegliche Idee hier anzufangen. Es wär wirklich total klasse, wenn sich jemand trotzdem der Aufgabe annehmen würde und mir helfen könnte. Vielen vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Do 25.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also du musst das Integral ja nur da betrachten, wo die Funktion nicht null ist ...
Ist dir denn klar was das Diracmaß bedeutet ?
Was passiert zum Beispiel, wenn du ganz [mm] \Omega_1 [/mm] und nur [mm] \omega_2 [/mm] = i betrachtest?
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Fr 26.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also mich hab mich inzwischen mal schlau gemacht gemacht und weiß jetzt was das Dirac-Maß überhaupt ist. Allerdings bringt mich das auch nich wirklich weiter. Ich hab mich jetz zunächst mal am Inneren des ersten Integrals versucht, d.h. ich möchte [mm] \integral X(\omega_1,\omega_2) \mu(d\omega_1) [/mm] berchnen. Für den einfachsten Fall [mm] \omega_1=\omega_2 [/mm] gilt dann:
[mm] \integral X(\omega_1,\omega_2) \mu(d\omega_1)=\integral [/mm] 1 [mm] \mu(d\omega_1)
[/mm]
Und wie integrier ich das jetzt mit dem Dirac-Maß? Wär toll wenn mir das jemand erklären könnte! Danke schon mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 26.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
für das Dirac-Maß [mm] \delta [/mm] gilt:
[mm]\int_\Omega f \delta_z = f(z)[/mm]
wie man leicht einsehen kann. Du hast eben eni konstante Funktion nämlich die 1, und dein Maß ist nicht das Dirac-Maß an einem Punkt, sondern die Summe der Dirac-Maße über alle Punkte.
Überleg dir auch mal, was ein Integral über [mm] \Omega [/mm] eigentlich bedeutet wenn [mm] \Omega [/mm] = N ist.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 26.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay also ist dann in meinem Fall
[mm] \integral_\Omega [/mm] f [mm] d\sum_{z=1}^{\infty} \delta_z=\integral_{1}^{\infty} [/mm] f [mm] d\sum_{z=1}^{\infty} \delta_z=\sum_{z=1}^{\infty} \integral_{1}^{\infty} [/mm] f [mm] d\delta_z=\sum_{z=1}^{\infty} f(z)=\sum_{z=1}^{\infty} 1=\infty [/mm] ??
Kann das sein oder wie integriere ich hier? Ich weiß mit mir ist es mühsam wär trotzdem klasse , wenn da jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Fr 26.06.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]\int_{\Omega_1} \int_{\Omega_2} X(\omega_1,\omega_2) \mu_2(d\omega_2)\mu_1(d\omega_1) = \int_{\Omega_1} \int_{\omega_2 \in \{\omega_1, \omega_1 + 1\}} X(\omega_1,\omega_2) \mu_2(d\omega_2)\mu_1(d\omega_1)[/mm]
da [mm]X(\omega_1,\omega_2)[/mm] sonst den Wert Null hat.
[mm]\int_{\Omega_1} \int_{\omega_2 \in \{\omega_1, \omega_1 + 1\}} X(\omega_1,\omega_2) \mu_2(d\omega_2)\mu_1(d\omega_1)=\int_{\Omega_1} ( \int_{\omega_2 = \omega_1} 1 \mu_2(d\omega_2) + \int_{\omega_2 = \omega_1 + 1} -1 \mu_2(d\omega_2) ) \mu_1(d\omega_2)=\int_{\Omega_1} ( \int_{\omega_2 = \omega_1} 1 \mu_2(d\omega_2) - \int_{\omega_2 = \omega_1 + 1} 1 \mu_2(d\omega_2) ) \mu_1(d\omega_2)=\int_{\Omega_1} ( \int_{\Omega_2} 1_{\{ \omega_1\}} \mu_2(d\omega_2) - \int_{\Omega_2} 1_{\{\omega_1 + 1\}} \mu_2(d\omega_2) ) \mu_1(d\omega_2)=\int_{\Omega_1} ( \mu_2 (\omega_1) - \mu_2 (\omega_1 +1))\mu_1(d\omega_2)[/mm]
und [mm]\mu_2(\omega_1)[/mm] und [mm]\mu_2(\omega_1 +1)[/mm] ist meiner Meinung nach 1 für alle [mm]\omega_1[/mm] also kann man auch gleich die konstante Funktion 1 einsetzen:
[mm]\int_{\Omega_1} ( 1 - 1)\mu_1(d\omega_2)=\int_{\Omega_1} 0 \mu_1(d\omega_2) = 0[/mm]
absolut sicher bin ich mir nicht ... aber ich hab jetzt paar mal drüber nachgedacht ... aber wie gesagt die hand würde ich nicht dafür ins feuer legen ...
vielleicht schreibt uns ja jemand obs passt.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 27.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vivo vielen, vielen Dank dafür! Wär klasse, wenn das noch jemand bestätgen könnte und seine Hand dafür ins Feuer legt  . Aber das wird schon stimmen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:39 So 28.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Keiner ne Idee ob die Lösung von vivo so stimmt? Wär klasse, wenn d anochmal jemand drüber schauen könnt. Besten Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 28.06.2009 | | Autor: | Blech |
> Hey vivo vielen, vielen Dank dafür! Wär klasse, wenn das
> noch jemand bestätgen könnte und seine Hand dafür ins Feuer
> legt . Aber das wird schon stimmen oder?
Wieso verfolgst Du nicht die einzelnen Schritte nach und erzählst es uns dann? Das ist ja der ganze Sinn von diesen Übungsaufgaben.
Abgesehen davon, daß aus einem [mm] $\mu_1(d\omega_1)$ [/mm] am Ende ein [mm] $\mu_1(d\omega_2)$ [/mm] wurde, stimmt es.
Deine Ansatz
[mm] $\int_\IN\int_\IN X(\omega_1,\omega_2)\ \mu_2(d\omega_2)\mu_1(d\omega_1)=\sum_{\omega_1=1}^\infty\sum_{\omega_2=1}^\infty X(\omega_1,\omega_2)$
[/mm]
stimmt auch, ist wahrscheinlich vertrauter, aber vivo's ist allgemeiner. Es hilft sicher, sich beide anzuschauen, damit Du Dich an Integration bzgl. Maßen, die nicht das Lebesguemaß sind, gewöhnst. =)
Jetzt fehlt nur noch
[mm] $\int_\IN\int_\IN X(\omega_1,\omega_2)\ \mu_1(d\omega_1)\mu_2(d\omega_2)$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
|
