Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 04.07.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich stehe gerade wohl auf dem Schlauch...
Ich soll folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(1-cost)^2+(1+sint)^2}}dt
[/mm]
habe es schon mit Substitution sint-cost=u versucht, dann komm ich aber auf eine ziemlich komplizierte form, die ich auch nicht integrieren kann.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
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Hallo moerni,
> Hallo,
> ich stehe gerade wohl auf dem Schlauch...
> Ich soll folgendes Integral berechnen:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(1-cost)^2+(1+sint)^2}}dt[/mm]
> habe es schon mit Substitution sint-cost=u versucht, dann
> komm ich aber auf eine ziemlich komplizierte form, die ich
> auch nicht integrieren kann.
> Hat jemand einen Tipp für mich?
Hmm, der elektronische Rechnenknecht weiß auch keinen Rat.
Ist das Integral denn richtig (aufgestellt)?
Es sieht mir nach einer zu berechnenden Bogenlänge aus, oder?
Kannst du mal die komplette Aufgabe posten (wenn es denn eine git?!  )
> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Sa 04.07.2009 | | Autor: | moerni |
Ja, ich muss die Länge einer Kurve berechnen.
[mm] \alpha(t) [/mm] = [mm] \pmat{t-sin(t) \\ t-cos(t)}
[/mm]
dann ist doch [mm] L(\alpha(t))=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel \pmat{1-cos(t) \\ 1+sin(t)} \parallel}dt [/mm] ,ne?
hoffentlich hilft das weiter....
grüße moerni
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Hallo nochmal,
> Ja, ich muss die Länge einer Kurve berechnen.
> [mm]\alpha(t)[/mm] = [mm]\pmat{t-sin(t) \\ t-cos(t)}[/mm]
> dann ist doch
> [mm]L(\alpha(t))=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel \pmat{1-cos(t) \\ 1+sin(t)} \parallel}dt[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,ne?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> hoffentlich hilft das weiter....
(mir) leider nicht.
Ich habe mal spaßeshalber Maple auf dieses Biest losgelassen, vorher hatte ich die Binome ausmultipliziert und mit $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$ zusammengefasst zu $\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{3+2\sin(t)-2\cos(t)} \ dt}$
Kaum zu glauben, was Maple davon hält.
Bitte anschnallen!
[Dateianhang nicht öffentlich]
> grüße moerni
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Sa 04.07.2009 | | Autor: | moerni |
krass.
danke für deine Bemühungen!!
Das muss doch irgendwie machbar sein... da is sicherlich ein Trick versteckt oder so...
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> Ja, ich muss die Länge einer Kurve berechnen.
> [mm]\alpha(t)[/mm] = [mm]\pmat{t-sin(t) \\ t-cos(t)}[/mm]
> dann ist doch
> [mm]L(\alpha(t))=\integral_{0}^{2\pi}{\parallel \pmat{1-cos(t) \\ 1+sin(t)} \parallel}dt[/mm]
> ,ne?
> hoffentlich hilft das weiter....
> grüße moerni
Hallo moerni,
ich habe die starke Vermutung, dass du die
Gleichung der Kurve eben doch nicht korrekt
wiedergegeben hast. Schau doch noch einmal
genau nach, ob die Kurvengleichung nicht
doch ein wenig anders war, zum Beispiel:
[mm] $\alpha(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{t-sin(t) \\ \red{1}-cos(t)}$
[/mm]
Dies würde die Situation betr. Integration
grundlegend verändern, und ausserdem
wäre dies eines der klassischen Beispiele
beim Thema Kurvenlängenberechnung !
Man kann sich in Mathematik durch ganz
kleine Abschreibfehler ganz schön viel
unnötige Arbeit und Ärger einbrocken !
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 So 05.07.2009 | | Autor: | moerni |
Ich habe nochmal die Gleichung der Kurve überprüft - und sie stimmt. leider. Es kann natürlich aber sein, dass auf unserem Übungsblatt die falsche Kurve angegeben ist (das ist nicht das erste Mal, dass solche Schreibfehler passieren...).
Wenn ich die Gleichung mit 1 statt t durchrechne, wie du mir vorgeschlagen hast, dann kommt 8 raus. Das war nicht so schwer. Vielen Dank für den Hinweis.
Grüße moerni
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> Ich habe nochmal die Gleichung der Kurve überprüft - und
> sie stimmt. leider. Es kann natürlich aber sein, dass auf
> unserem Übungsblatt die falsche Kurve angegeben ist (das
> ist nicht das erste Mal, dass solche Schreibfehler
> passieren...).
> Wenn ich die Gleichung mit 1 statt t durchrechne, wie du
> mir vorgeschlagen hast, dann kommt 8 raus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau. Und die entsprechende Kurve ist eine
sogenannte Zykloide oder Rollkurve: Bahn, die
z.B. ein in einer Rille eines Autoreifens einge-
klemmtes Steinchen während der Fahrt beschreibt.
> Das war nicht so
> schwer. Vielen Dank für den Hinweis.
> Grüße moerni
Ich würde fast wetten, dass die Aufgabe so gemeint
war. Man kann sich zwar noch klar machen, dass
die eine Kurve aus der anderen durch eine ein-
fache geometrische Transformation hervorgeht,
nämlich eine Scherung. Bei einer analogen
Scherung wird aus einem Kreis eine Ellipse.
Beim Kreis ist die Bogenlängenberechnung ein
Kinderspiel, bei der Ellipse aber nicht mehr:
Man stößt dabei genau auf ein "elliptisches"
Integral, wie sie auch Maple für das vorliegende
Beispiel liefert. Siehe schachuzipus.
Falls du das vorliegende "Biest" wirklich noch
erledigen willst, würde ich dir empfehlen, den
Integranden mittels der Formel
$\ p*cos(t)+q*sin(t)=r*sin(t+u)$
$\ [mm] r=\sqrt{p^2+q^2}\quad,\quad sin(u)=p/r\quad,\quad [/mm] cos(u)=q/r$
umzuformen. Im Wesentlichen bleibt dann
ein Integral der Form
[mm] $\integral \sqrt{A+B*cos(x)}\,dx$
[/mm]
übrig, welches man mittels [mm] cos(x)=1-2\,sin^2(x/2) [/mm] auf
die Form eines elliptischen Integrals der zweiten
Art bringen kann. Für die Berechnung solcher
Integrale gibt es zwar keine Stammfunktionen,
aber doch Tabellen bzw. Reihendarstellungen.
Ich vermute aber doch sehr, dass es immerhin
wesentlich leichter geht als mit dem monströsen
Term, den Maple ausgewürgt hat...
LG Al-Chwarizmi
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(1-cost)^2+(1+sint)^2}}dt[/mm]
Hallo,
ich habe mich der Herausforderung nun doch
gestellt, dieses Integral so weit möglich zu
behandeln, bis man es mittels einer Tabelle
der Werte elliptischer Integrale berechnen
kann. Ich machte einen innerlichen Freuden-
sprung, als ein rasch erstelltes Progrämmchen
zur numerischen Berechnung der Bogenlänge
(Kurve in 5000 Stücklein teilen, deren Längen mit
Pythagoras berechnet und dann addiert werden)
genau denselben Wert lieferte, nämlich
[mm] L\approx10.04 [/mm] . Ich möchte den Lösungsweg hier
für Interessierte, die das vielleicht auch
tun möchten, kurz skizzieren.
Erste Tipps habe ich da schon gegeben.
Auf diesem Weg kam ich auf das Integral
[mm] $\integral_{t=0}^{2\,\pi}\sqrt{3+2\sqrt{2}*cos\left(t-\bruch{3\,\pi}{4}\right)\,}\,dt$
[/mm]
Dann setzte ich [mm] s:=\bruch{t}{2}-\bruch{3\,\pi}{8} [/mm] und hatte
$\ [mm] 2\integral_{s=-\bruch{3\,\pi}{8}}^{\bruch{5\,\pi}{8}}\sqrt{3+2\sqrt{2}*cos(2\,s)\,}\,ds$
[/mm]
Doppelwinkelformel einsetzen und dann den kon-
stanten Summanden im Radikanden als Faktor
herausziehen liefert:
$\ [mm] 2*\sqrt{3+2\sqrt{2\,}}*\integral_{s=-\bruch{3\,\pi}{8}}^{\bruch{5\,\pi}{8}}\sqrt{1-k^2*sin^2(s)\,}\,ds$
[/mm]
$\ [mm] 2*\left(1+\sqrt{2\,}\,\right)*\integral_{s=-\bruch{3\,\pi}{8}}^{\bruch{5\,\pi}{8}}\sqrt{1-k^2*sin^2(s)\,}\,ds$
[/mm]
wobei [mm] k^2=\bruch{4\sqrt{2\,}}{3+2\sqrt{2\,}} [/mm] und [mm] k\,\approx\,0.98517
[/mm]
In der ![[]](/images/popup.gif) Tabelle für elliptische Integrale 2.Gattung,
die ich benutzte, wird ein Winkel [mm] \alpha=arcsin(k)
[/mm]
benützt. Für diesen Winkel bekam ich $\ 80.12$° und
konnte deshalb problemlos die Einträge für $\ 80$° in
der recht weitmaschigen Tabelle nehmen.
Zuerst probierte ich die Werte für die Grenzen
[mm] -\bruch{3\,\pi}{8} [/mm] und [mm] \bruch{5\,\pi}{8} [/mm] durch zusätzliche Überlegungen und
Interpolation zu bestimmen, bis ich merkte,
dass dies überflüssig ist, da das Integral ja
eh über eine volle Periode läuft !
Viele Grüße
Al
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