Integral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mo 07.11.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Möchte dieses Integral lösen:
[mm] x_{s}=\frac{2}{r^{2}\pi}\int_{-r}^{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=0
[/mm]
Rauskommen soll [mm] \frac{4r}{3\pi} [/mm] |
[mm] x_{s}=\frac{2}{r^{2}\pi}\int_{-r}^{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=0
[/mm]
Habe es mit Partiellen Integration versucht, aber da verkompliziert sich alles:
f'(x)=x, [mm] f(x)=\frac{1}{2}x^{2}
[/mm]
g(x)= [mm] (r^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}, g'(x)=-x(r^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] \int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx [/mm] = [mm] [f(x)g(x)]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx
[/mm]
=> [mm] [\frac{1}{2}x^{2}(r^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}]^{r}_{-r}+\int_{-r}^{r}\frac{x^{3}}{2}(r^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx
[/mm]
Wie man sieht, ist es jetzt viel schwieriger geworden das Integral zu lösen. Habe es schon prpboert das f(x) und g(x) anders zu wählen aber da wird es genau so schlimm.
Eignet sich das Verfahren denn hier überhaupt?
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Hallo
> Möchte dieses Integral lösen:
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> [mm]x_{s}=\frac{2}{r^{2}\pi}\int_{-r}^{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=0[/mm]
> Rauskommen soll [mm]\frac{4r}{3\pi}[/mm]
>
Wie wäre es mit Substitution, also [mm] w=r^2-x^2, [/mm] => dw=-2x*dx <=> [mm] dx=\bruch{dw}{-2x}
[/mm]
[mm] =>\bruch{2}{r^2*\pi} [/mm] * [mm] \integral_{-r}^{r}{x*\wurzel{w}*\bruch{dw}{-2x}}
[/mm]
Jetzt kürzt sich x weg und dann kannst du das Integral lösen.
Beachte= Entweder Grenzen mitsubstituieren oder Integral berechnen und dann rücksubstituieren
> [mm]x_{s}=\frac{2}{r^{2}\pi}\int_{-r}^{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=0[/mm]
>
> Habe es mit Partiellen Integration versucht, aber da
> verkompliziert sich alles:
> f'(x)=x, [mm]f(x)=\frac{1}{2}x^{2}[/mm]
> g(x)= [mm](r^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}, g'(x)=-x(r^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}[/mm]
>
> Partielle Integration:
> [mm]\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx[/mm] =
> [mm][f(x)g(x)]^{b}_{a}-\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx[/mm]
>
> =>
> [mm][\frac{1}{2}x^{2}(r^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}}]^{r}_{-r}+\int_{-r}^{r}\frac{x^{3}}{2}(r^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx[/mm]
>
> Wie man sieht, ist es jetzt viel schwieriger geworden das
> Integral zu lösen. Habe es schon prpboert das f(x) und
> g(x) anders zu wählen aber da wird es genau so schlimm.
>
> Eignet sich das Verfahren denn hier überhaupt?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 08.11.2011 | | Autor: | zoj |
Vielen Dank für den Tip!!!
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