Integral berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 28.01.2013 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega(t-s)}}{\omega^2+\Gamma^2}d\omega [/mm] |
Ich versuche obengenannte Integral zu berechnen. Mit Mathematica bekomme ich Antwort:
ConditionalExpression[ E^(-(Abs[s - [mm] t]/Sqrt[(1/g^2)])) Sqrt[1/g^2] \[Pi], [/mm]
s - t [mm] \[Element] [/mm] Reals && Re[g] != 0]
ich würde aber gern aber analytisch das berechnen, um sicher zu sein. Partielle Integration hat bei mir nicht geklappt, vielleicht jemand hat andere Idee? Vielleicht Cauchysche Integralsatz?
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Hallo waruna,
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> [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega(t-s)}}{\omega^2+\Gamma^2}d\omega[/mm]
> Ich versuche obengenannte Integral zu berechnen. Mit
> Mathematica bekomme ich Antwort:
> ConditionalExpression[ E^(-(Abs[s - [mm]t]/Sqrt[(1/g^2)])) Sqrt[1/g^2] \[Pi],[/mm]
> s - t [mm]\[Element][/mm] Reals && Re[g] != 0]
> ich würde aber gern aber analytisch das berechnen, um
> sicher zu sein. Partielle Integration hat bei mir nicht
> geklappt, vielleicht jemand hat andere Idee? Vielleicht
> Cauchysche Integralsatz?
Probier's mit dem Residuensatz .
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mo 28.01.2013 | | Autor: | waruna |
Vielen Dank für Tipp, aus Residuumsatz erhalte ich (wenn ich mich nicht irre):
[mm] 2\pi i(\frac{e^{\Gamma(t-s)}}{2i\Gamma}-\frac{e^{-\Gamma(t-s)}}{2i\Gamma})= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega(t-s)}}{\omega^2+\Gamma^2}d\omega
[/mm]
Vorfaktor stimmt (ich habe angenommen, dass [mm] \omega [/mm] i [mm] \Gamma [/mm] reel sind), aber rest nicht so ganz...
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Hallo waruna,
> Vielen Dank für Tipp, aus Residuumsatz erhalte ich (wenn
> ich mich nicht irre):
> [mm]2\pi i(\frac{e^{\Gamma(t-s)}}{2i\Gamma}-\frac{e^{-\Gamma(t-s)}}{2i\Gamma})= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\omega(t-s)}}{\omega^2+\Gamma^2}d\omega[/mm]
>
> Vorfaktor stimmt (ich habe angenommen, dass [mm]\omega[/mm] i [mm]\Gamma[/mm]
> reel sind), aber rest nicht so ganz...
Maßgebend für Auswertung mit Hilfe des Residuumssatzes
ist der Ausdruck [mm]-\left(t-s\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 28.01.2013 | | Autor: | waruna |
Das verstehe ich nicht, warum nur Term mit -(t-s) relevant ist?
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Hallo waruna,
> Das verstehe ich nicht, warum nur Term mit -(t-s) relevant
> ist?
Weil das Integral von der Bauart
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{g\left(w\right)*e^{iaw} \ dw}[/mm]
ist. Zu deren Auswertung ist nur das a von Bedeutung.
Für a > 0 sind die Residuen der oberen Halbebene maßgebend.
Für a < 0 sind die Residuen der unteren Halbebene maßgebend.
Gruss
MathePower
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