Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 27.06.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Berechne das Integral mittels Substitution
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{1+4x^{2}}} [/mm] |
Hallo,
hier mal mein Rechenweg für obige Aufgabe, die für die Experten unter uns sicher leicht ist, für mich leider nicht...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{1+4x^{2}}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+4x^{2}}dx}
[/mm]
Substituiere u=4x
[mm] \bruch{du}{dx}=4\gdw\bruch{du}{4}=dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+u^{2}}\bruch{du}{4}}=\bruch{1}{4}*arctan(u)+C=\bruch{1}{4}*arctan(4x)+C, C\in\IR
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass in der Lösung statt der beiden Vieren jeweils eine Zwei dort steht und 2x substituiert wurde. Mir ist allerdings nicht klar, warum das gemacht wurde, bzw. wo mein Fehler ist. Eigentlich sollte es so doch auch gehen?
Wer kann mir mal wieder helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 27.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
du musst beachten, dass [mm] (2x)^2 [/mm] = [mm] 4x^2 \not= (4x)^2 [/mm] ist.
Die Substitution u=4x ergibt für [mm] 4x^2 [/mm] deshalb nicht [mm] u^2 [/mm] sondern [mm] u*x=\bruch{u^2}{4}.
[/mm]
Substituiere besser u=2x.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Fr 28.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
Meine Rechnung sieht dann folgendermassen aus:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{1+4x^{2}}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+4x^{2}}dx} [/mm] $
Substituiere u=2x
$ [mm] \bruch{du}{dx}=2\gdw\bruch{du}{2}=dx [/mm] $
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+u^{2}}\bruch{du}{2}}=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(u^{2})+C=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(4x^{2})+C, C\in\IR [/mm] $
Das Argument vom arctan ist also offensichtlich falsch, bzw. unterscheidet sich von der Lösung. Ist meine Rechnung dahingehend falsch bei der Stammfunktion [mm] u^{2} [/mm] zu schreiben?
Wenn ja, wieso?
Viele Grüße
poeddl
Moment mal, ich glaub, ich habe mir die Frage schon selbst beantwortet...
[mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{1+u^{2}}du=arctan(u)
[/mm]
Sprich, mein [mm] u^{2} [/mm] (Also das Quadrat) ist schlichtweg zu viel.
Oder ist mein Ansatz, dass ich auf das ursprüngliche [mm] 4x^{2} [/mm] kommen muss doch richtig und der Fehler liegt woanders?
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Hallo,
> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort.
>
> Meine Rechnung sieht dann folgendermassen aus:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dx}{1+4x^{2}}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+4x^{2}}dx}[/mm]
>
> Substituiere u=2x
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=2\gdw\bruch{du}{2}=dx[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+u^{2}}\bruch{du}{2}}=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(u^{2})+C=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(4x^{2})+C, C\in\IR[/mm]
>
Was machst du denn jetzt hier plötzlich? 
Es ist
[mm]\int{ \frac{1}{1+x^2} dx}=arctan(x)+C[/mm]
Also ist da kein Quadrat im Argument, daher heißt deine durch Rücksubstitution gewonnene Lösung einfach nur:
[mm]\int{ \frac{1}{1+4x^2} dx}= \frac{1}{2}\int{ \frac{1}{1+u^2} du}=\frac{1}{2}arctan(u)+C=\frac{1}{2}arctan(2x)+C[/mm]
> Das Argument vom arctan ist also offensichtlich falsch,
> bzw. unterscheidet sich von der Lösung. Ist meine Rechnung
> dahingehend falsch bei der Stammfunktion [mm]u^{2}[/mm] zu
> schreiben?
> Wenn ja, wieso?
Die Frage verstehe ich nicht. Das ist ein elementares Integral, wie kommst du überhaupt auf die IDee mit dem [mm] u^2?
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Fr 28.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke für deine Antwort!
Dann war meine Vermutung doch richtig, als ich es nochmal durchgerechnet habe (siehe Revision meiner Frage weiter oben).
Aber toll, dass du das so schnell bestätigt hast.
Vielen Dank euch! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 28.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Woran erkennt man denn, was man zu substituieren hat?
Gibt es dort einen Trick?
Was würde man denn bei [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x-2}{x^{2}-4x} dx} [/mm] zum Beispiel integrieren? Ich habe schon alle möglichen Variationen durch aber komm irgendwie zu keinem gescheiten Ansatz...
Gruß
poeddl
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Hallo poeddl,
neue Frage, neue Antwort:
> Woran erkennt man denn, was man zu substituieren hat?
> Gibt es dort einen Trick?
Nein. Wenn irgend möglich, natürlich so, dass das dann "entstehende" Integral leichter zu berechnen ist....
> Was würde man denn bei
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x-2}{x^{2}-4x} dx}[/mm] zum Beispiel
> integrieren? Ich habe schon alle möglichen Variationen
> durch aber komm irgendwie zu keinem gescheiten Ansatz...
Alle möglichen? Ich hätte zuerst Partialbruchzerlegung versucht. Klappt auch.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> > Was würde man denn bei
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x-2}{x^{2}-4x} dx}[/mm] zum Beispiel
> > integrieren? Ich habe schon alle möglichen Variationen
> > durch aber komm irgendwie zu keinem gescheiten
> Ansatz...
>
> Alle möglichen? Ich hätte zuerst Partialbruchzerlegung
> versucht. Klappt auch.
Das ist hier von der Form
[mm] \int{ \frac{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm]
wenn man vorher noch den Faktor 1/2 herauszieht. Insofern wäre hier die Substitution oder die Kenntnis der Vorgehensweise per Logarithjmusfunktion schon vorzuziehen...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 28.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Partialbruchzerlegung wäre auch das Mittel meiner Wahl gewesen, hätte in der Aufgabe nicht explizit Substitution gestanden.
Ich werd mal noch etwas probieren.
Schade, dass es kein allgemein gültiges "Rezept" für das Substituieren gibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 28.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hab das Integral jetzt mittels Substitution gelöst.
Zu substituieren war [mm] x^{2}-4x
[/mm]
Wenn man nicht sofort sieht, was man machen muss kann man ja echt viel Zeit an solch einer Aufgabe verbringen...
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Das ist auch ein typisches Substitutionsintegral da bis auf den Faktor 2 im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Paritalbruchzerlegung würde die Sache hier nur unnötig verkomplizieren.
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