Integral beschränkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | | [mm] \int_{\IR^N}\frac{1}{(1+|y|)^{N+1}}dy. [/mm] |
Hallo,
ich überlege mir gerade, warum dieses Integral existiert (also [mm] <\infty [/mm] ist), kann es aber nicht so recht begründen.
Es ist ja irgendwie analog zu Reihen der Form [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}. [/mm] Diese Reihe konvergiert für [mm] \alpha>1.
[/mm]
Wie kann ich sowas bei dem Integral zeigen?
Danke für Hilfe& Gruß
mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Fr 30.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo mili!
> [mm]\int_{\IR^N}\frac{1}{(1+|y|)^{N+1}}dy.[/mm]
> Hallo,
>
> ich überlege mir gerade, warum dieses Integral existiert
> (also [mm]<\infty[/mm] ist), kann es aber nicht so recht
> begründen.
>
> Es ist ja irgendwie analog zu Reihen der Form
> [mm]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}.[/mm] Diese Reihe
> konvergiert für [mm]\alpha>1.[/mm]
>
> Wie kann ich sowas bei dem Integral zeigen?
Am einfachsten durch den Übergang zu n-dimensionalen Polarkoordinaten. Der Integrand hängt nur vom Betrag $r=|y|$ ab, daher zerfällt das Integral in Polarkoordinaten in ein Produkt aus
[mm] \integral_{S_n} d\Omega_n * \integral_0^{\infty} \frac{1}{(1+r)^{N+1}}r^{N-1}dr [/mm] ,
wobei [mm] $\integral_{S_n} d\Omega_n$ [/mm] das Integral über den Winkelanteil bezeichnet; das ist die Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel. Das zweite Integral existiert, da der Integrand durch [mm] $r^{-2}$ [/mm] nach oben beschränkt ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mili03 |
Dankeschön!!!
Gruß
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