Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{1}{xexp(x^2) dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{0}^{2\pi}{xcos(x) dx}
[/mm]
c) Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2)} dx} [/mm] mit Hilfe der Substitution x=tan(t). Hinweis: Es gilt [mm] cos(2t)=2cos^{2}t-1 [/mm] |
Hallo nochmal,
a) und b) hab ich berrechnet und würde mich über eine Korrektur freuen.
zu [mm] a)\integral_{0}^{1}{xexp(x^2) dx}
[/mm]
mit Substitution erhalten wir:
[mm] \bruch{1}{2}{\integral_{0}^{1}e^{u} du}=\bruch{1}{2}e
[/mm]
zu [mm] )\integral_{0}^{2\pi}{xcos(x) dx}=[x*sinx]^{2\pi}_{0}+[cosx]^{2\pi}_{0}=1+c
[/mm]
c) bei c hab ich leider Schwierigkeiten.
mit tan(t)=x
[mm] dx=sec^2(t)dt
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2}}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+tan^2)^2}sec^{2}(t)dt}
[/mm]
Ist das richtig? Wenn ja, könnt ihr mir einen Hinweis für den naechsten Schritt geben?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Bei (a) hast Du noch den Term für $F(0)$ vergessen.
Bedenke, dass gilt [mm] $e^0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
danke hab es ergaenzt 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Die Stammfunktion hast Du korrekt bestimmt. Aber dann geht irgendwas schief beim Einsetzen der Grenzen. Es kommt etwas ziemlich "Einfaches" heraus.
Und da es sich hierbei um ein bestimmtes Integral handelt, gibt es auch keine Integrationskonstante $... \ +c_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
wenn ich die Grenzen einsetze habe ich
[mm] 2\pi*sin2\pi+cos2\pi+c
[/mm]
[mm] sin2\pi [/mm] ist 0 und [mm] cos2\pi [/mm] ist 1 oder nicht?
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Hallo Laura87,
> wenn ich die Grenzen einsetze habe ich
>
> [mm]2\pi*sin2\pi+cos2\pi+c[/mm]
>
Hier hast Du aber nur die Obergrenze [mm]2\pi[/mm] in die Stammfunktion eingesetzt.
> [mm]sin2\pi[/mm] ist 0 und [mm]cos2\pi[/mm] ist 1 oder nicht?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
bei x*sinx hab ich es eingesetzt, aber bei cosx vergesssen. Es kommt 0 raus. Danke für den Hinweis!
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Hallo Laura87,
> Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
>
> c) Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2)} dx}[/mm] mit Hilfe der
> Substitution x=tan(t). Hinweis: Es gilt
> [mm]cos(2t)=2cos^{2}t-1[/mm]
> Hallo nochmal,
>
>
> c) bei c hab ich leider Schwierigkeiten.
>
> mit tan(t)=x
>
> [mm]dx=sec^2(t)dt[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2}}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+tan^2)^2}sec^{2}(t)dt}[/mm]
>
Es gilt: [mm]\sec^{2}\left(t\right)=1+\tan^{2}\left(t\right)[/mm]
> Ist das richtig? Wenn ja, könnt ihr mir einen Hinweis für
> den naechsten Schritt geben?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
mit deinem Hinweis hab ich jetzt:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^4}sec^2(t) dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^2(t)} dt}=
[/mm]
jz bin ich mir unsicher. Ist das, dass gleiche wie [mm] \integral_{0}^{1}{cos^2(t) dt}???
[/mm]
Nach dem Hinweis, müsste ich ja irgendwann auf cos(2t) kommen. Deshalb kommt es mir falsch vor.
Lg
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Hallo Laura87,
> mit deinem Hinweis hab ich jetzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^4}sec^2(t) dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^2(t)} dt}=[/mm]
>
Wenn Du den Integranden substituierst,
dann musst Du auch die Grenzen des Integrals substituieren.
> jz bin ich mir unsicher. Ist das, dass gleiche wie
> [mm]\integral_{0}^{1}{cos^2(t) dt}???[/mm]
>
> Nach dem Hinweis, müsste ich ja irgendwann auf cos(2t)
> kommen. Deshalb kommt es mir falsch vor.
>
Als Integrand hattest Du zunächst stehen;
[mm]\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)[/mm]
Da [mm]\sec^{2}\left(t\right)=1+\tan^{2}\left(t\right)[/mm] steht dann da:
[mm]\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)=\bruch{1}{\left(\sec^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)=\bruch{1}{\sec^{2}\left(t\right)}=\cos^{2}\left(t\right)[/mm]
> Lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
nun folgt :
[mm] cos^2(t)=\bruch{1}{2}(1+cos(2t)
[/mm]
nun erhalte ich die Stammfunktion:
[mm] \bruch{1}{2}t+\bruch{1}{4}sin(2t)
[/mm]
mit sin(2t)=2sin(t)cos(t) folgt [mm] \bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}sin(t)cos(t)
[/mm]
mit der Rücksubstitution und einigen Umformungen erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{2}arctan(x)+\bruch{1}{2}(\bruch{x}{(1+x^2)})
[/mm]
nun nur noch die Grenzen einsetzen.
Hier setze ich ja die gegebenen Grenzen ein, weil ich rücksub. habe. Bei den einzelnen Schritten muss ich aber, wie du erwaehnt hast, die Grenzen auch subsituieren. Da hab ich jedoch gerade Schwierigkeiten. Wie peinlich es auch ist, mein Hirn ist gerade stehen geblieben. Sind die in diesem Fall nicht gleich?
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Hallo Laura87,
> nun folgt :
>
> [mm]cos^2(t)=\bruch{1}{2}(1+cos(2t)[/mm]
>
> nun erhalte ich die Stammfunktion:
>
> [mm]\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{4}sin(2t)[/mm]
>
> mit sin(2t)=2sin(t)cos(t) folgt
> [mm]\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}sin(t)cos(t)[/mm]
>
> mit der Rücksubstitution und einigen Umformungen erhalte
> ich:
>
> [mm]\bruch{1}{2}arctan(x)+\bruch{1}{2}(\bruch{x}{(1+x^2)})[/mm]
>
> nun nur noch die Grenzen einsetzen.
>
> Hier setze ich ja die gegebenen Grenzen ein, weil ich
> rücksub. habe. Bei den einzelnen Schritten muss ich aber,
> wie du erwaehnt hast, die Grenzen auch subsituieren. Da hab
> ich jedoch gerade Schwierigkeiten. Wie peinlich es auch
> ist, mein Hirn ist gerade stehen geblieben. Sind die in
> diesem Fall nicht gleich?
>
Da die Stammfunktion durch Rücksubstitution ermittelt worden ist,
sind auch die gegebenen Grenzen zu verwenden.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Laura87 |
Vielen dank für deine Hilfe!
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