Integral (cos x)^3*ln(sin x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale:
d) [mm] \integral{cos^3 x * ln (sin x) dx} [/mm] |
Habe versucht u= sin x zu substituieren und komme dann auf folgendes Integral:
[mm] \integral{(1-u^2)*ln(u) du}
[/mm]
hier weiß ich aber nicht mehr weiter.
Durch partielle Integration bekomme ich wieder Terme mit x rein:
[mm] t'=1-u^2
[/mm]
[mm] t=u-\bruch{u^3}{3}
[/mm]
s=ln(u)
[mm] s'=\bruch{du}{dx} [/mm] * [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
Wie löst man also dieses Integral am geschicktesten?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo BunDemOut,
> Berechnen Sie folgende Integrale:
> d) [mm]\integral{cos^3 x * ln (sin x) dx}[/mm]
> Habe versucht u= sin x zu substituieren ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gute Idee!
> und komme dann auf folgendes
> Integral:
> [mm]\integral{(1-u^2)*ln(u) du}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> hier weiß ich aber nicht
> mehr weiter.
> Durch partielle Integration bekomme ich wieder Terme mit x
> rein:
Nein, bekommst du nicht!
> [mm]t'=1-u^2[/mm]
> [mm]t=u-\bruch{u^3}{3}[/mm]
>
> s=ln(u)
> [mm]s'=\bruch{du}{dx}[/mm] * [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
Nein, es ist [mm]s[/mm] eine Funktion in u!!
[mm]s=s(u)=\ln(u)\Rightarrow s'(u)=\frac{ds}{du}=\frac{1}{u}[/mm]
Die Wahl von [mm]s,t[/mm] ist genau richtig und zielführend!
Regel:
[mm]\int{t'(u)\cdot{}s(u) \ du} \ = \ t(u)\cdot{}s(u)-\int{t(u)\cdot{}s'(u) \ du}[/mm]
Bastel nur alles zusammen ...
Du bist auf dem richtigen Weg!
>
> Wie löst man also dieses Integral am geschicktesten?
>
> Danke!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Achso, ich muss hier also nicht beachten, dass mein u auch noch von x abhängt? das ist doch eigentlich streng genommen ein u(x) und damit wäre mein s ein s(u(x))...
Oder sehe ich das falsch?
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Hallo nochmal,
> Achso, ich muss hier also nicht beachten, dass mein u auch
> noch von x abhängt?
Nein, mache die partielle Integration nur in der Variablen u, $s,t$ sind doch nur Hilfsfunktionen.
Wenn du das Integral in u ausgerechnet hast, mache am Ende die Resubstitution und drücke alles wieder in $x$ aus ...
> das ist doch eigentlich streng
> genommen ein u(x) und damit wäre mein s ein s(u(x))...
> Oder sehe ich das falsch?
Gruß
schachuzipus
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