Integral exp(f(x)) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | gegeben ist die DGL y'+cos(x)*y=-15 |
Hallo,
ich bin's mal wieder. Habe ein Problem zu der oben genannten DGL, denn geht man mit dem gewöhnlichen Verfahren einer Differentialgleichung 1.Ordnung vor erhält man:
[mm] y=e^{-sin(x)}*C [/mm] bzw. [mm] y=e^{-sin(x)}*K(x)
[/mm]
und [mm] y'=-cos(x)*e^{-sin(x)}*K'(x)
[/mm]
also ist K'(x)= [mm] -15/{e^{-sin(x)}}
[/mm]
Also müsste das Integral:
[mm] \integral_{}^{}{-15*e^{sin(x)} dx} [/mm] berechnet werden.
Und da komme ich nicht weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 28.08.2007 | | Autor: | Winnifred |
moment, da kommt mir gerade die substitution in den sinn:
u= sin(x) u'=cos(x)
also hätte man: [mm] \integral_{}^{}{e^{u} dx/{cos(x)}}
[/mm]
und für cos(x) kann man sagen:
[mm] cos^2(x) [/mm] = 1- [mm] sin^2(x) [/mm] = [mm] 1-u^2
[/mm]
=> [mm] \wurzel[]{1-u^2}=cos(x)
[/mm]
also wird das Integral
[mm] \integral_{}^{}{e^{u} dx/{\wurzel[]{1-u^2}}}
[/mm]
gesucht
und das versuche ich jetzt gerade zu lösen, müsste ja mit der Partiellen Integration zu lösen sein..
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Hallo Winnifred!
Durch Substitution u=sin(x) bekommt ich:
[mm] K(x)=-15*Integral(exp(u)/(1-u^2))du.
[/mm]
Versuche es nun mit Matlab.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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Hallo,
hm bestehet die möglichkeit das es dafür einfach keine Lösung gibt?
also ich habe eine substitution mit sin(x) vorgenommen, und somit eben das oben genannte integral durch cos(x)
um aus cos(x) eswas mit u zu machen habe ich:
[mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1
[/mm]
[mm] cos(x)=\wurzel{1-sin^2(x)}
[/mm]
und [mm] sin2(x)=u^2
[/mm]
ergibt das Integral: [mm] -15\integral_{}^{}{\bruch{e^u}{\wurze{1-u^2}} du}
[/mm]
durch zweichache Partielle Integration komme ich so immer wieder auf:
[mm] -14\integral_{}^{}{\bruch{e^u}{\wurze{1-u^2}} du}=0
[/mm]
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Hallo,
auf der Homepage von Wolfram kann man sich Integrale von Mathematica berechnen lassen:
![[]](/images/popup.gif) http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Mathematica sagt, es gibt hier keine Lösung.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 30.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Herby,
> dieses Integral ist nicht geschlossen lösbar, da sich der
> Integrand nicht in eine noch so kleine [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm]
> einzwängen lässt.
Ich stimme dir zu, dass es keine geschlossene Darstellung des Integrals durch elementare Funktionen gibt.
Aber was meinst du mit der [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung? Für reelle x ist [mm]e^{sin(x)}[/mm] stetig und beschränkt, also existiert das Integral über jedes endliche Intervall.
> Daher ist auch die DGL nicht lösbar -
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das Integral existiert, und daher ist
[mm] y_p(x) = -15\, e^{-sin(x)}\integral e^{sin(x)} dx [/mm]
eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL.
Man kann sie nur nicht durch elementare Funktionen ausdrücken.
Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Do 30.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Winnifred,
> Also müsste das Integral:
> [mm]\integral_{}^{}{-15*e^{sin(x)} dx}[/mm] berechnet werden.
>
> Und da komme ich nicht weiter
Soweit ich das beurteilen kann, gibt es keine geschlossene Darstellung dieses (unbestimmten) Integrals.
Es gibt eine Entwicklung des Integranden [mm]e^{sin(x)}[/mm] in eine unendliche Reihe von Besselfunktionen, die man gliedweise integrieren kann. Als Ergebnis bekommt man wieder eine unendliche Reihe von Besselfunktionen.
Ob das ein Fortschritt ist 
Viele Grüße
Rainer
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Produktregel![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
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