Integral lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Folgendes Integral möchte ich lösen:
[mm] Q=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{r}{\wurzel{r^2+a^2}^{3}} dr} [/mm] |
Hier bietet sich ja die partielle Integration an.
[mm] Q=\integral_{0}^{\infty}{r*\bruch{1}{\wurzel{r^2+a^2}^{3}} dr}
[/mm]
[mm] u*v-\integral{}^{}{u'*v}
[/mm]
Ich versuche es zuerst damit das ich als u=r und [mm] v'=\bruch{1}{\wurzel{r^2+a^2}^3} [/mm] zuordne.
Wenn ich das v' integriere kriege ich ein von Maple verschiedenes Ergebnis. Hab für das v' die Substitution angewendet.
v':
[mm] \integral{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{r^2+a^2}^3} dr}=\integral{}^{}{(r^2+a^2)^{-\bruch{3}{2}} dr}
[/mm]
mit [mm] u=r^2+a^2 [/mm] , [mm] dr=\bruch{1}{2r}*du
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{2r}*u^{-\bruch{3}{2}} du}=-\bruch{1}{x}*\bruch{1}{\wurzel{x^2+a^2}}
[/mm]
Laut Maple muss [mm] \bruch{x}{a^2*\wurzel{r^2+a^2}} [/mm] rauskommen
Was mache ich falsch? Kann mir jmd weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Sa 31.05.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
1/\sqrtf)(x)} abgeleitet ergibt f'/(\sqrt{f(x)})^3 das sollte man wissen, oder mit der Substitution
r^2+a^2=u arbeiten.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Meintest du [mm] \bruch{1}{\wurzel{f(x)}} [/mm] abgeleitet ergibt [mm] \bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}^3}
[/mm]
Die obige Schreibweise kenne ich so nicht, also eine Funktion unter einer Wurzel. Wenn z. B. f(x)=x+a ist, stimmt das allerdings nicht mit deiner allgemeinen Ableitungsgleichung.
Ich hab mit der Substitution [mm] u=r^2+a^2 [/mm] gearbeitet. Leider hats bei mir noch nicht klick gemacht. Könntest du mir genauer sagen, was den falsch ist?
|
|
|
| |
|
Hallo,
mein schei** laptop bringt mich um - dritter Anlauf ...
> Meintest du [mm]\bruch{1}{\wurzel{f(x)}}[/mm] abgeleitet ergibt
> [mm]\bruch{f'(x)}{\wurzel{f(x)}^3}[/mm]
Ja, so ist das gemeint, allerdings stimmt das so ja nicht ganz. Vielmehr:
[mm]\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\right) \ = \ -\frac{1}{2}\cdot{}\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}^3}[/mm] Kettenregel ...
Also [mm]\frac{d}{dx}\left(\frac{-2}{\sqrt{f(x)}}\right) \ = \ \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}^3}[/mm]
Und dein Integrand hat doch (fast) genau die Gestalt der rechten Seite dieser Gleichung - mit welchem [mm]f(x)[/mm] bzw. [mm]f(r)[/mm] ?
Und wieso fast? Und wie kannst du es ganz leicht korrigieren?
>
> Die obige Schreibweise kenne ich so nicht, also eine
> Funktion unter einer Wurzel.
Wie jetzt? Dann schreibe das doch als Potenz
> Wenn z. B. f(x)=x+a ist,
> stimmt das allerdings nicht mit deiner allgemeinen
> Ableitungsgleichung.
>
> Ich hab mit der Substitution [mm]u=r^2+a^2[/mm] gearbeitet. Leider
> hats bei mir noch nicht klick gemacht.
Was hast du denn gerechnet? Zeige doch mal die Rechnung ...
Mit [mm]u=u(r)=a^2+r^2[/mm] bestimme [mm]u'(r)=\frac{du}{dr}[/mm], ersetze das Differential und alles in r durch was in u ...
> Könntest du mir
> genauer sagen, was den falsch ist?
Wen? Den?!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Sa 31.05.2014 | | Autor: | energizer |
Iwi haben wir alle aneinander vorbei geredet.
Hatte den Fehler das ich das oben doppelt gemoppelt gemacht hatte. Part. Integration + Substitution...
Reine Substitution wie ich es !OBEN! zum Teil angewendet hatte, wäre ausreichend.
Achso vielleicht die Lösung, falls jemand ein ähnliches Integral hat
[mm] u=r^2+a^2, [/mm] dr=du/2r
[mm] \integral{\bruch{r}{2}*u^{-\bruch{3}{2}}}=-\bruch{1}{\wurzel{r^2+a^2}}[/mm]
|
|
|
|
