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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern dieses exisitiert.
[mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm] |
Hallo Leute,
wie muss ich hier vorgehen?
Könnte ich das Integral z.B. schreiben als
[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] und es dann einzeln integrieren?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern
> dieses exisitiert.
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> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx[/mm]
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> Hallo Leute,
> wie muss ich hier vorgehen?
>
> Könnte ich das Integral z.B. schreiben als
>
> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]
Das ist schonmal ein Anfang. Aber zur Berechnung taugt er nicht, denn es sind jetzt zwei uneigentliche Integrale. Sprich: du musst da auf jeden Fall mit einer Grenzertbertrachtung dran. Andererseits könntest du dir aber die Symmetrie des Integranden zu x=1 zunutze machen...
> und es dann einzeln integrieren?
Wie gesagt: einfach nur integrieren sollte man hier nicht tun, auch und gerade dann, wenn es augenscheinlich klappen würde.
Gruß, Diophant
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Hallo,
ich habe das jetzt mal mit den zwei uneigentlichen Integralen und der Grenzwertbetrachtung probiert, aber komme da auf sehr unschöne Ergebnisse.
$ [mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm] $=$ [mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] $
[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow1}\int_0^a \frac{1}{x-1}dx=\limes_{a\rightarrow1}ln(x-1)\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow1}ln(a-1)-ln(-1)
[/mm]
Der LN ist aber doch gar nicht für negative Zahlen definiert oder ist hier jetzt der betragsmäßige LN gemeint?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe das jetzt mal mit den zwei uneigentlichen
> Integralen und der Grenzwertbetrachtung probiert, aber
> komme da auf sehr unschöne Ergebnisse.
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> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm]=[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]
>
>
> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow1}\int_0^a \frac{1}{x-1}dx=\limes_{a\rightarrow1}ln(x-1)\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow1}ln(a-1)-ln(-1)[/mm]
>
Das mit den 'unschönen Ergebnissen' ist auch kein Wunder: du hast
- das Wurzelzeichen unterschlagen.
- die Betragsklammern falsch aufgelöst.
Probiers mal mit Korrektur dieser beiden Fehler und du wirst sehen, dass dein Integral existiert.
Gruß, Diophant
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Hallo,
entschuldige ich bin etwas krank zurzeit.
Also nochmal:
$ [mm] \int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm] $=$ [mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx [/mm] =2+2=4$
[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} (-1)\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1}-2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1} -2\sqrt{1-a}+2\sqrt{1-0}=2
[/mm]
[mm] \int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_a^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1}2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1} 2\sqrt{2-1}-2\sqrt{a-1}=2
[/mm]
So sollte es richtig sein oder?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Hallo,
> entschuldige ich bin etwas krank zurzeit.
Willkommen im Club. 
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> Also nochmal:
> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx [/mm]=[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =2+2=4[/mm]
>
> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_0^a \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} (-1)\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1}-2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_0^a=\limes_{a\rightarrow 1} -2\sqrt{1-a}+2\sqrt{1-0}=2[/mm]
>
> [mm]\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx =\limes_{a\rightarrow 1}\int_a^2 \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx=\limes_{a\rightarrow 1} \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(1-x)^{\frac{-1}{2}+1}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1}2\sqrt{1-x}\mathop{\big|}\limits_a^2=\limes_{a\rightarrow 1} 2\sqrt{2-1}-2\sqrt{a-1}=2[/mm]
>
>
> So sollte es richtig sein oder?
Ja. Jetzt überlege mal, weshalb da beidesmal das gleiche herauskommt, dann darfst du auch sofort
[mm] \int_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x-1|}}}=2*\lim_{a\downarrow{1}} \int_{a}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{x-1}}}=...=4
[/mm]
rechnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Di 18.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Das erspart einem natürlich viel Zeit. Der Graph ist also durch den Betrag an der Unstetigkeitsstelle gespiegelt. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral, sofern
> dieses exisitiert.
>
> [mm]\int_0^{2}\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx[/mm]
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> Hallo Leute,
> wie muss ich hier vorgehen?
>
> Könnte ich das Integral z.B. schreiben als
>
> [mm]\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx +\int_1^{2}\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx[/mm]
> und es dann einzeln integrieren?
Ja, aber das erste Integral lautet so:
[mm] \int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx.
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 18.02.2014 | | Autor: | mtr-studi |
Ja, das hatte ich total vergessen mit dem Vorzeichenwechsel im negativen Bereich. Vielen Dank!
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