Integral mit Definition < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Berechnen Sie ohne Verwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für a > 0 das Integral
[mm] \integral_{0}^{a}{x^2 dx}
[/mm]
Hinweis: Die Formel
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n [/mm] |
Hallo,
muss ich das mit der Riemann Summe machen?
Lg Laura
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Hallo Laura,
> Berechnen Sie ohne Verwendung des Hauptsatzes der
> Differential- und Integralrechnung für a > 0 das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{x^2 dx}[/mm]
>
> Hinweis: Die Formel
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n[/mm]
>
> Hallo,
>
> muss ich das mit der Riemann Summe machen?
Ja!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Laura,
> Berechnen Sie ohne Verwendung des Hauptsatzes der
> Differential- und Integralrechnung für a > 0 das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{x^2 dx}[/mm]
>
> Hinweis: Die Formel
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n[/mm]
>
> Hallo,
>
> muss ich das mit der Riemann Summe machen?
ja (sagte reverend ja schon!). Begründe aber erstmal, dass das Integral
existiert (Stetigkeitsargument). Daraus ergibt sich dann ja: "Für jede
Zerlegung mit einer gegen Null strebenden Feinheit existiert der
Grenzwert ... und dieser wird geschrieben als..."
[mm] ($\;\longrightarrow\;$ [/mm] Definition des Riemann-Integrals bzw. Verständnis der Definition!)
Betrachte dann bei Dir für $n [mm] \in \IN$ [/mm] speziell die Zerlegung
[mm] $$\{0=\tfrac{0*a}{n},\,\tfrac{1*a}{n},\,\tfrac{2*a}{n},\,\ldots,\tfrac{n*a}{n}=a,\,\}\,.$$
[/mm]
(Welche Feinheit hat sie - und was passiert mit der Feinheit bei $n [mm] \to \infty$?)
[/mm]
Dann folgt, dass insbesondere
[mm] $$\int_0^a x^2\,dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \left(\underbrace{\frac{a}{n}}_{\glqq\text{Rechteckbreite}\grqq}*\underbrace{\left(\frac{k*a}{n}\right)^2}_{\glqq\text{Rechteckhöhe}\grqq}\right)=...$$
[/mm]
(Beachte, dass Du [mm] $1/n^3\,$ [/mm] aus der Summe "rausziehen" kannst - wieso? Gleiches
gilt für [mm] $a^3$! [/mm] Beachte übrigens auch, dass [mm] $\sum_{k=0}^n k^2=\sum_{k=\red{1}}^n k^2$ [/mm] gilt - warum?)
P.S. Die Begriffe "Rechteckbreite" bzw. "Rechteckhöhe" (das Quadratzeichen
ist hier eingeschlossen!) solltest Du Dir anhand der äquidistanten
Zerlegung oben klarmachen (ruhig auch mal anhand einer Skizze)!
Gruß,
Marcel
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