www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Integral mit Parameter
Integral mit Parameter < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral mit Parameter: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Di 27.01.2009
Autor: lolsusl

Aufgabe
Für k>0 ist die Funktion f(x)= kx(x-4).
a) Bestimme k so, dass die Fläche zwischen der Geraden y=x und dem Graphen von f einen minimalen Inhalt hat.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Okay, also es muss als das Integral einer Differenzfunktion gebildet werden.

Um die Intervalgrenzen zu kennen muss man ja die Schnittpunkte kennen, also gleichsetzten. Dabei habe ich y=x als g(x) bezeichnet.

[mm]f(x)=g(x)[/mm]
[mm]kx(x-4)=x[/mm]
[mm]kx²-4x=x[/mm]
[mm]kx²-5x=0[/mm]
[mm]x_1/2 = \bruch{5k}{2} \pm \wurzel{ \bruch{25k^2}{4}}[/mm]
[mm]x_1=0[/mm]
[mm]x_2=5k[/mm]

Das sind ja damit die Intervalgrenzen.

[mm]A= \integral_{0}^{5k}{(g(x)-f(x)) dx}[/mm]
[mm]A= \integral_{0}^{5k}{(-kx^2-3kx) dx}[/mm]


[mm]A=[ -\bruch{k}{3}x^3 - \bruch{3}{2}x^2 ] [/mm] Und hier müssen noch die Intervalgrenzen ran, obere Grenze 5k, untere Grenze 0.

[mm]A= -\bruch{k}{3}(5k)^3 - \bruch{3}{2}(5k)^2 - 0[/mm]

[mm]A= -\bruch{125}{3}k^4 - \bruch{75}{2}k^2[/mm]

Das wäre mein Ergebnis für den Flächeninhalt, da ist jetzt aber das k gesucht für welches dieser minimal wird. Also muss dort die erste Ableitung Null sein und die Zweite größer als Null.


[mm]A'=0[/mm]

[mm]-\bruch{500}{3}k^3 - 75k = 0[/mm]

[mm]k ( -\bruch{500}{3}k^2 - 75 ) = 0 [/mm]

   [mm]k_1=0[/mm] -> nicht für Aufgabe relevant, das k>0 sein muss.

[mm]( -\bruch{500}{3}k^2 - 75 ) = 0[/mm]

[mm]( -\bruch{500}{3}k^2 } = 75 [/mm]

[mm]k^2 = - \bruch{225}{500}[/mm]

Ja, und da kommt der Schlips ins Rad... Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen, also habe ich wohl auf dem Weg dahin einen Fehler gemacht... ich weiß nur leider nicht wo.
Wär über Hilfe sehr dankbar.

Ach und rauskommen muss k=1/2.

        
Bezug
Integral mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Di 27.01.2009
Autor: Steffi21

Hallo, dein Vorgehen ist prinzipiell richtig, leider hast du ziemlich am Anfang eine Faktor verbasselt

kx(x-4)=x

[mm] k*x^{2}-4*k*x=x [/mm] du hast nur -4x stehen

[mm] k*x^{2}-4*k*x-x=0 [/mm]

[mm] x^{2}-4x-\bruch{1}{k}x=0 [/mm]

[mm] x^{2}-x(4+\bruch{1}{k})=0 [/mm]

[mm] x(x-4-\bruch{1}{k})=0 [/mm]

[mm] x_1=0 [/mm] deine untere Grenze

[mm] x_2=4+\bruch{1}{k} [/mm] deine obere Grenze

Steffi











Bezug
                
Bezug
Integral mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Di 27.01.2009
Autor: lolsusl

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Riesigen Danke für die schnelle Antwort.

Okay, ich sehe gerade, dass ich mich da etwas vertippt habe.

In meinen Aufzeichnung habe ich noch -4kx und -5kx statt -4x und -5x stehen. und habe auch damit weiter gerechnet.
Und da war ich mir auch nicht sicher, dürfte ich

[mm] -4kx=x[/mm] zu [mm]-5kx=0[/mm] umformen?

Deiner Umformung kann ich soweit folgen, nur beim letzten Schritt verstehe ich es leider nicht.  Könntest du mir das bitte nochmal erklären?

Bezug
                        
Bezug
Integral mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Di 27.01.2009
Autor: Steffi21

Hallo,

du möchtest offenbar -4kx-x zusammenfassen zu -5kx, was aber nur möglich wäre bei -4kx-kx

[mm] x(x-4-\bruch{1}{k})=0 [/mm] an dieser Stelle wurde x ausgeklammert

ein Produkt ist gleich Null, ist einer der beiden Faktoren Null

1. Faktor:

x=0

2. Faktor

[mm] x-4-\bruch{1}{k}=0 [/mm] addiere 4 und [mm] \bruch{1}{k} [/mm]

[mm] x=4+\bruch{1}{k} [/mm]

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Integral mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Di 27.01.2009
Autor: lolsusl

Super, habe alles verstanden.

Du hast mir echt klasse weiter geholfen! Thumbs up!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]