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Integral mit Partialbruchzerl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 So 12.08.2007
Autor: schmidex

Aufgabe
Berechnen Sie das folgende Integral mittels Partialbruchzerlegung

Hallo zusammen. Komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

[mm] \int_{-1}^{0} \bruch{x^3-1}{x^3+1} \, [/mm] dx

Ich weiss garnicht wie ich anfangen soll. Da die Potenz von x im Zähler = der Potenz im nenner ist, muss ich doch als erstes eine Polynomdivision durchführen oder?Und wie dann weiter?

Danke für Hilfe bei der Lösung

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral mit Partialbruchzerl.: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 So 12.08.2007
Autor: Loddar

Hallo schmidex,

[willkommenmr] !!


Wie lautet denn der Term nach der MBPolynomdivision? Für die MBPartialbruchzerlegung folgender Tipp:

[mm] $x^3+1 [/mm] \ = \ [mm] (x+1)*\left(x^2-x+1\right)$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integral mit Partialbruchzerl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 So 12.08.2007
Autor: schmidex

danke für die schnelle Antwort.Das mit der Parialbruchzerlegung wusste ich schon.Aber mir ist unklar, ab wann ich damit anfangen kann. Die Polynomdivision ist doch auf jeden Fall notwendig oder?
Also wenn ich [mm](x^3) / (x^3+1) [/mm] rechne.. Komme ich auf
[mm]1+ \bruch {-1}{x^3+1}[/mm]
ist das überhaupt richtig? Oder liegt schon hier mein erstes Problem? Ich war in diesem einen Tutorium nicht da, und hab voll den Anschluss verloren.-

Bezug
                        
Bezug
Integral mit Partialbruchzerl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 12.08.2007
Autor: schachuzipus

Hallo schmidex,

du musst doch für die PD [mm] (x^3-1):(x^3+1) [/mm] rechnen....

Dann klappt's auch mit dem Nachbarn  ;-)

Und danach weiter mit PBZ


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Integral mit Partialbruchzerl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 So 12.08.2007
Autor: schmidex

ahh. okay. irgendwie, hab ich das falsch abgeschrieben. fing ja gut an ;-)
Dann komm ich jetzt auch auf was vernünftiges:

[mm]\integral_{0}^{1} 1\, dx + \integral_{0}^{1} \bruch {-2}{(x+1)(x^2-x+1)}\, dx [/mm]

das müsste doch soweit richtig sein.
Jetzt gehts an die Partialbruchzerlegung. Hoffentlich bekomm ich das hin, sonst meld ich mich nochmal.

Bezug
        
Bezug
Integral mit Partialbruchzerl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 So 12.08.2007
Autor: Leopold_Gast

Die Funktion

[mm]g(x) = \frac{1 - x^3}{x^2 - x + 1} = \frac{1 - x^3}{\left( x- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} \, , \ \ x \in [-1,0][/mm]

besitzt nur positive Werte, denn Zähler und Nenner sind im gesamten Definitionsbereich offenbar stets positiv. Sie ist daher nach unten durch eine Konstante [mm]m > 0[/mm] beschränkt (kompakter Definitionsbereich):

[mm]g(x) \geq m > 0[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm]

Für [mm]a \in (-1,0)[/mm] gilt daher

[mm]\int_a^0 \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1}~\mathrm{d}x = - \int_a^0 \frac{1}{x + 1} \cdot g(x)~\mathrm{d}x \leq -m \int_a^0 \frac{1}{x + 1}~\mathrm{d}x[/mm]

Und was heißt das für [mm]a \to -1[/mm]?

Bezug
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