Integral mit Residuensatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich soll folgendes Integral mit dem Residuensatz ausrechnen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{{\frac {\cos \left( x \right) }{ \left( 1+{x}^{2} \right) ^{3}}} dx}
[/mm]
Ich habe schon viel versucht! Das falsche gekritzel möchte ich zwar nicht abtippen, aber ich kann ja mal kurz zusammenfassen was ich schon getan hab!
- Versucht das ganze in eine Laurentreihe um i, und um -i zu entwickeln um die beiden Residuen zu erhalten. In der Mitte abgebrochen da viel zu mühselig und umständlich.
- Versucht das ganze mit der folgenden Formel auszurechnen:
Zweite-Ableitung von [mm] g:=(x+i)^2*f(x) [/mm] geteilt durch 2!, naja, diese Abeitung von dem Ding auszurechnen ist sehr sehr Zeitaufwendig und war am ende ohnehin Falsch.
Raus kommen soll [mm] \frac{7*\pi}{16*e}
[/mm]
Hat jemand einen Tipp wie man das vernünftig ausrechnen kann in Klausurangemessener Zeit? Zweite Ableitung für Zwei residuen von dem komischen Ding ist nicht nur extrem Zeitaufwendig sondern ergibt auch ein seltsames ergebnis mit Sinus-Hyperbolicus etc pp
Bin für jede Hilfe dankbar!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 21.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
Hier mal ein kläglicher Versuch das Residuum für I auszurechnen.
Da sieht man mal wie komplex das ist mit der einen Formel da, und am Ende kommt nur mist aus. - Unendlich * I ist doch kein Residuum!
Bitte Helft mir!
Verwendete Formel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Sa 21.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
Noch ein kläglicher Versuch.
Mit Maple kommt halt schon das richtige Raus in irgendeiner Form, aber nicht in dieser wie es in der Aufgabe steht und zweitens haben wir in der Klausur schliesslich kein Maple!
Bitte bitte gebt mir Tipps wie man solche Aufgaben normal löst!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo jarjar2008,
> Hallo, ich soll folgendes Integral mit dem Residuensatz
> ausrechnen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{{\frac {\cos \left( x \right) }{ \left( 1+{x}^{2} \right) ^{3}}} dx}[/mm]
>
> Ich habe schon viel versucht! Das falsche gekritzel möchte
> ich zwar nicht abtippen, aber ich kann ja mal kurz
> zusammenfassen was ich schon getan hab!
>
> - Versucht das ganze in eine Laurentreihe um i, und um -i
> zu entwickeln um die beiden Residuen zu erhalten. In der
> Mitte abgebrochen da viel zu mühselig und umständlich.
>
> - Versucht das ganze mit der folgenden Formel
> auszurechnen:
> Zweite-Ableitung von [mm]g:=(x+i)^2*f(x)[/mm] geteilt durch 2!,
> naja, diese Abeitung von dem Ding auszurechnen ist sehr
> sehr Zeitaufwendig und war am ende ohnehin Falsch.
>
> Raus kommen soll [mm]\frac{7*\pi}{16*e}[/mm]
>
>
> Hat jemand einen Tipp wie man das vernünftig ausrechnen
> kann in Klausurangemessener Zeit? Zweite Ableitung für Zwei
> residuen von dem komischen Ding ist nicht nur extrem
> Zeitaufwendig sondern ergibt auch ein seltsames ergebnis
> mit Sinus-Hyperbolicus etc pp
>
Hier gilt ja:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\cos\left(x\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \ dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{i*x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \ dx}[/mm]
Demzufolge gilt auch:
[mm]Res \left(\bruch{\cos\left(x\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}, \ i\right)=Res \left(\bruch{e^{i*x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}, \ i\right)[/mm]
>
> Bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Falls ich dich richtig verstanden habe, dann bin ich mit dieser Methode auch gescheitert, da eine Division durch 0 auftaucht.
Schau mal wie ich das gerechnet habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo jarjar2008,
> Falls ich dich richtig verstanden habe, dann bin ich mit
> dieser Methode auch gescheitert, da eine Division durch 0
> auftaucht.
>
> Schau mal wie ich das gerechnet habe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Das Residuum von [mm]\bruch{e^{i*x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}[/mm] an der Stelle [mm]x=i[/mm] berechnet sich wie folgt:
Zunächst ist festzuhalten, daß [mm]\bruch{e^{i*x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}[/mm] an der Stelle [mm]x=i[/mm] einen Pol 3. Ordnung hat.
Daher gilt folgende Formel für die Berechnung des Residuums:
[mm]Res \left( \bruch{ e^{i*x} }{ \left(1+x^{2}\right)^{3} } , \ i\right)=\bruch{1}{2!}\limes_{x\rightarrow i} {\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left( \left(x-i\right)^{3} \bruch{e^{i*x}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \right)}=\bruch{1}{2!}\limes_{x\rightarrow i} {\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left( \bruch{e^{i*x}}{\left(x+i\right)^{3}} \right)}[/mm]
Damit solltest Du jetzt
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{ e^{i*x} }{ \left(1+x^{2}\right)^{3} \ }\ dx}=2*\pi*i*Res \left( \bruch{ e^{i*x} }{ \left(1+x^{2}\right)^{3} } , \ i\right)[/mm]
bestimmen können.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Sa 21.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
Danke Math Power, habs jetzt!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre nur noch interessant zu wissen wieso man einfach den Imaginärteil bei der Exp-Darstellung des Cos weglassen darf und trotzdem das gleiche rauskommt!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Sa 21.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
Ich sehe gerade meinen Fehler!
Danke Mathapower, du hast mir sehr geholfen.
Meine Lösung klappt jetzt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber noch eine kleine Frage...Wieso kann ich cos(x) einfach auf den Realteil Einschränken [mm] (e^{i*x}) [/mm] ohne dass das ergebnis verfälscht wird:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
