Integral mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mo 24.09.2012 | | Autor: | winty |
| Aufgabe | Bestimmten sie das Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dx}{4+cos(x)}}
[/mm]
mithilfe des Residuensatzes |
Hallo.
Hoffe, ich habe die Frage im richtigen Unterforum gestellt.
Ich muss ja die Polstellen bzw. Nullstellen des Nenners bestimmen.
Hierzu schreibe ich denn nenner um:
[mm] 4+1/2(z+z^{-1})=0
[/mm]
durch erweitern mit z bekomme ich
[mm] z^{2}+8z+1 [/mm] mit den Nullstellen:
[mm] z_{1}= -4+\wurzel{15}
[/mm]
[mm] z_{1}= -4-\wurzel{15}
[/mm]
Wir haben die Integrale dann immer so berechnet.
[mm] 2*\pi*i*Windungszahl(\gamma,z_{0})*Res(f(z),z_{0})
[/mm]
und das Residuum mittels [mm] 1/g'(z_{0}), [/mm] also durch ableiten des Nenners:
[mm] \bruch{d}{dz}*z^{2}+8z+1= [/mm] 2z+8
Die Polstellen einsetzen in [mm] \bruch{1}{2z+8} [/mm] liefert
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{15}} [/mm] und
[mm] \bruch{1}{-2*\wurzel{15}}
[/mm]
Ich erhalte dann
[mm] 2*/pi*i*(\bruch{1}{2*\wurzel{15}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{-2*\wurzel{15}})=0
[/mm]
Wolfram Alpha spuckt mir aber [mm] \bruch{2*\pi}{\wurzel{15}} [/mm] aus.
Habe ich einen Fehler gemacht?
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Hallo winty,
> Bestimmten sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{dx}{4+cos(x)}}[/mm]
> mithilfe des Residuensatzes
>
> Hallo.
> Hoffe, ich habe die Frage im richtigen Unterforum
> gestellt.
>
> Ich muss ja die Polstellen bzw. Nullstellen des Nenners
> bestimmen.
> Hierzu schreibe ich denn nenner um:
> [mm]4+1/2(z+z^{-1})=0[/mm]
Das Differential dx ist hier auch zu ersetzen: [mm]dx=\bruch{-i}{z} \ dz[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{\vmat{z}=1}^{}{\bruch{1}{4+\bruch{1}{2}*\left(z+\bruch{1}{z}\right)}}}}*\bruch{-i}{z} \ dz[/mm]
Damit ist
[mm]\bruch{1}{4+\bruch{1}{2}*\left(z+\bruch{1}{z}\right)}}}}*\bruch{-i}{z} [/mm]
zur Berechnung heranzuziehen.
> durch erweitern mit z bekomme ich
> [mm]z^{2}+8z+1[/mm] mit den Nullstellen:
> [mm]z_{1}= -4+\wurzel{15}[/mm]
> [mm]z_{1}= -4-\wurzel{15}[/mm]
>
> Wir haben die Integrale dann immer so berechnet.
> [mm]2*\pi*i*Windungszahl(\gamma,z_{0})*Res(f(z),z_{0})[/mm]
> und das Residuum mittels [mm]1/g'(z_{0}),[/mm] also durch ableiten
> des Nenners:
> [mm]\bruch{d}{dz}*z^{2}+8z+1=[/mm] 2z+8
> Die Polstellen einsetzen in [mm]\bruch{1}{2z+8}[/mm] liefert
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{15}}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{-2*\wurzel{15}}[/mm]
> Ich erhalte dann
> [mm]2*/pi*i*(\bruch{1}{2*\wurzel{15}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{-2*\wurzel{15}})=0[/mm]
>
> Wolfram Alpha spuckt mir aber [mm]\bruch{2*\pi}{\wurzel{15}}[/mm]
> aus.
> Habe ich einen Fehler gemacht?
>
Es ist dasjenige [mm]z_{k}, \ k=1,2[/mm] zur Berechnung heranzuziehen,
dessen Betrag kleiner 1 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 24.09.2012 | | Autor: | winty |
Danke schonmal für die Antwort!
[mm] dx=\bruch{-i}{z}dz
[/mm]
ist das allgemein gültig?
Warum genau ersetze ich das?
Habe damit weitergerechnet, es ändert ja nichts an den Nullstellen.
> Es ist dasjenige [mm]z_{k}, \ k=1,2[/mm] zur Berechnung
> heranzuziehen,
> dessen Betrag kleiner 1 ist.
Okay, das ist logisch, da ich ja über den Einheitskreis integriere.
Also kommt nur [mm] -4+\wurzel{15} [/mm] in Frage.
Was hat es mit dem k auf sich?
Muss ich meine berechnung mit k multiplizieren?
bekomme jetzt folgendes immer noch falsches Ergebnis:
[mm] 2*\pi*i*\bruch{-i}{2*(-4+\wurzel{15})+8}=\bruch{\pi}{\wurzel{15}}
[/mm]
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Hallo winty,
> Danke schonmal für die Antwort!
> [mm]dx=\bruch{-i}{z}dz[/mm]
> ist das allgemein gültig?
> Warum genau ersetze ich das?
>
Zunächst wird dich cos(x) durch
[mm]\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm]
ersetzt.
Danach wird substituiert: [mm]z=e^{ix}[/mm]
Damit ergibt sich: [mm]dz=i*e^{ix} \ dx[/mm]
> Habe damit weitergerechnet, es ändert ja nichts an den
> Nullstellen.
>
>
> > Es ist dasjenige [mm]z_{k}, \ k=1,2[/mm] zur Berechnung
> > heranzuziehen,
> > dessen Betrag kleiner 1 ist.
>
> Okay, das ist logisch, da ich ja über den Einheitskreis
> integriere.
> Also kommt nur [mm]-4+\wurzel{15}[/mm] in Frage.
> Was hat es mit dem k auf sich?
k steht für die k. Nullstelle des Nenners.
> Muss ich meine berechnung mit k multiplizieren?
>
Nein.
> bekomme jetzt folgendes immer noch falsches Ergebnis:
>
> [mm]2*\pi*i*\bruch{-i}{2*(-4+\wurzel{15})+8}=\bruch{\pi}{\wurzel{15}}[/mm]
>
Da ist eine 2 im Zähler verlorgegangen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 24.09.2012 | | Autor: | winty |
Okay, soweit alles verstanden, nochmals vielen dank!
Einziges Problem ist die 2.
Wo habe ich die vergessen? Komme mir gerade ein bisschen blöd vor...
Die Umlaufzahl ist doch 1 oder nicht?
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Hallo winty,
> Okay, soweit alles verstanden, nochmals vielen dank!
> Einziges Problem ist die 2.
> Wo habe ich die vergessen? Komme mir gerade ein bisschen
> blöd vor...
> Die Umlaufzahl ist doch 1 oder nicht?
Ja.
Es ist doch
[mm]{\bruch{1}{4+\bruch{1}{2}\cdot{}\left(z+\bruch{1}{z}\right)}}}}\cdot{}\bruch{-i}{z} ={\bruch{-i}{4z+\bruch{1}{2}\cdot{}\left(z^{2}+1\right)}}}}={\bruch{-i}{4z+\bruch{1}{2}\cdot{}\left(z^{2}+1\right)}}}}*\bruch{2}{2}={\bruch{-2i}{8z+z^{2}+1}}}}[/mm]
Dann ergibt sich das Residuum zu: [mm]2*\pi*i*{\bruch{-2i}{2z+8}}}}=\bruch{4\pi}{2z+8}=\bruch{2\pi}{z+4}[/mm]
für die Nullstelle z, deren Betrag kleiner 1 ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Di 25.09.2012 | | Autor: | winty |
Nochmals vielen dank!
Hatte glaub ich gestern ein Brett vorm kopf...
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