Integral mit Umkehrfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Ronjaaa |
| Aufgabe | f(x) = [mm] 4-\bruch{4}{(x+1)^2}
[/mm]
1. Bestimme die Stammfunktion!
2. Bestimme die Umkehrfunktion!
3. Berechne das Integral zwischen den beiden Schnittpunkten von f(x) und der Umkehrfunktion! |
Hallo,
ich verzweifel gerade über meiner Mathehausaufgabe. Es wäre super nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Meine bisherigen Ansätze:
zu 1. Ich hätte gedacht, dass man hier die Stammfunktion mit dem ln(x) findet, und bin zu diesem Ergebnis gekommen: [mm] 4x-4ln\vmat{(x+1)}^2
[/mm]
Allerdings bezweifel ich ziemlich, dass das stimmt...
zu 2. meine Umkehrfunktion würde lauten:
x = 4 - [mm] \bruch{4}{(y+1)^2} [/mm] --> x - 4 = [mm] \bruch{-4}{(y+1)^2} [/mm] --> [mm] (x-4)(y+1)^2 [/mm] = -4 --> [mm] -\bruch{4}{(x-4)} [/mm] = [mm] (y+1)^2 [/mm] --> [mm] \wurzel{\bruch{-4}{(x-4)}} [/mm] - 1 = y
zu 3: hier bin ich komplett gescheitert, da ich es nicht geschafft habe, die Umkehrfunktion der Wurzel und des Bruches wegen abzuleiten.
LG Ronja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mo 07.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x) = [mm]4-\bruch{4}{(x+1)^2}[/mm]
>
> 1. Bestimme die Stammfunktion!
> 2. Bestimme die Umkehrfunktion!
> 3. Berechne das Integral zwischen den beiden
> Schnittpunkten von f(x) und der Umkehrfunktion!
> Hallo,
>
> ich verzweifel gerade über meiner Mathehausaufgabe. Es
> wäre super nett, wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Meine bisherigen Ansätze:
>
> zu 1. Ich hätte gedacht, dass man hier die Stammfunktion
> mit dem ln(x) findet, und bin zu diesem Ergebnis gekommen:
> [mm]4x-4ln\vmat{(x+1)}^2[/mm]
Nicht ganz.
[mm] \frac{1}{x^{2}} [/mm] hat die Stammfunktion [mm] F(x)=-\frac{1}{x}
[/mm]
Also hier im hinteren Summanden:
[mm] g(x)=-\bruch{4}{(x+1)^2}
[/mm]
Mit der Subistitution u=x+1, also du=dx ergibt sich:
[mm] G(x)=\frac{4}{x+1}
[/mm]
Also hat
[mm] $f(x)=4-\bruch{4}{(x+1)^2}$
[/mm]
die Stammfunktion:
[mm] F(x)=4x+\bruch{4}{(x+1)}
[/mm]
> Allerdings bezweifel ich ziemlich, dass das stimmt...
>
> zu 2. meine Umkehrfunktion würde lauten:
> x = 4 - [mm]\bruch{4}{(y+1)^2}[/mm] --> x - 4 =
> [mm]\bruch{-4}{(y+1)^2}[/mm] --> [mm](x-4)(y+1)^2[/mm] = -4 -->
> [mm]-\bruch{4}{(x-4)}[/mm] = [mm](y+1)^2[/mm] --> [mm]\wurzel{\bruch{-4}{(x-4)}}[/mm]
> - 1 = y
Du hast:
[mm] x=4-\bruch{4}{(y+1)^2} [/mm]
[mm] \Leftrightrarrow x-4=-\bruch{4}{(y+1)^2} [/mm]
[mm] \Leftrightrarrow 4-x=\bruch{4}{(y+1)^2} [/mm]
[mm] \Leftrightrarrow(4-x)(y+1)^{2}=4
[/mm]
[mm] \Leftrightrarrow(y+1)^{2}=\frac{4}{4-x}
[/mm]
[mm] \Leftrightrarrow y+1=\pm\sqrt{\frac{4}{4-x}}
[/mm]
[mm] \Leftrightrarrow y=-1\pm\sqrt{\frac{4}{4-x}}
[/mm]
>
> zu 3: hier bin ich komplett gescheitert, da ich es nicht
> geschafft habe, die Umkehrfunktion der Wurzel und des
> Bruches wegen abzuleiten.
>
Wozu brauchst du die Ableitung der Umkehrfunktion?
> LG Ronja
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Ronjaaa |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Bei 3. meinte ich die Stammfunktion der Umkehrfunktion, habs verwechselt.
Ronja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Ronjaaa |
Ich hätte noch eine Frage zu meiner ersten Frage bzw. der Antwort darauf.
Wann muss ich denn dann eine Funktion mit Hilfe des ln(x) aufleiten?
Und, müsste es dann aber nicht im hinteren Summanden [mm] \bruch{-4}{(x+1)} [/mm] heißen? Ich meine nur, da die Aufleitungsformel ja lautet: [mm] \integral{x^n dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}x^{n+1}
[/mm]
und ich hätte diese Formel dann hier folgendermaßen angewendet:
[mm] \bruch{-1}{-2+1}*4(x+1)^{-1} [/mm] ; aber vielleicht hab ich mich auch nur verechnet..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Ronjaaa |
Sorry, zu wenig weit nach unten gescrollt. Die zusätzliche Frage zur Stammfunktion hat sich natürlich erledigt. Hab erst nach dem Fragestellen gesehen, dass die Antwort bereits da stand. Tut mir leid und vielen Dank!
Nur noch die Frage: Wann muss man denn eine Funktion mit dem ln(x) aufleiten?
Ronja
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Hallo ronjaa,
> Nur noch die Frage: Wann muss man denn eine Funktion mit
> dem ln(x) aufleiten?
Das heißt integrieren  .
Nun zum einen gilt [mm] \int\frac{c}{x}dx=c*\ln(x).
[/mm]
Allgemeiner gilt die folgende aus der Substitutionsregel folgende Formel:
[mm] \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln(f(x))
[/mm]
LG
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