Integral u. Volumen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Man bestimme die Stammfunktion der Funktion
[mm] f(x)=(x^2-4)*cos(2x)
[/mm]
b) Man berechne das Volumen des Körpers in Abhänigkeit von [mm] x_0, [/mm] der durch Rotation des Graphen der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{1+x}
[/mm]
um die x-Achse, [mm] 0\le x\le x_0 [/mm] entsteht.
Welches Volumen erhält man für [mm] x_0\rightarrow\infty? [/mm] |
meine vorgehensweise:
zu a):
Partielle Integration:
[mm] \integral{(x^2-4)*cos(2x)dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x)*(x^2-4)-\integral{\bruch{1}{2}sin(2x)*2xdx}
[/mm]
[mm] \integral{sin(2x)*xdx}=-\bruch{1}{2}cos(2x)*x-\integral{-\bruch{1}{2}cos(2x)dx}
[/mm]
[mm] \integral{cos(2x) dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x)
[/mm]
[mm] \integral{(x^2-4)*cos(2x) dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x)*(x^2-3,75)+\bruch{1}{2}*cos(2x)
[/mm]
zu b):
[mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
[mm] V=\pi*\integral{f(x)^2 dx}
[/mm]
[mm] V=\pi*\integral{x^2*(1+x)^{-2} dx}
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] \integral{x^2*(1+x)^-2 dx}=-\bruch{1}{3}*(1+x)^{-3}*x^2-\integral{-\bruch{1}{3}*(1+x)^{-3}*2xdx}
[/mm]
[mm] \integral{(1+x)^{-3} dx}=-\bruch{1}{4}*(1+x)^{-4}*x-\integral{-\bruch{1}{4}*(1+x)^{-4} dx}
[/mm]
[mm] \integral{(1+x)^{-4} dx}=-\bruch{1}{5}*(1+x)^{-5}
[/mm]
[mm] \integral{x^2*(1+x)^{-2} dx}=-\bruch{1}{3}*(1+x)^{-3}*x^2-\bruch{1}{6}*(1+x)^{-4}*x-\bruch{1}{30}*(1+x)^{-5}
[/mm]
[mm] \integral_0^{x_0}{x^2*(1+x)^{-2} dx}=-\bruch{1}{3}*(1+x_0)^{-3}*x_0^2-\bruch{1}{6}*(1+x_0)^{-4}*x_0-\bruch{1}{30}*(1+x_0)^{-5}+\bruch{1^{-4}}{30}
[/mm]
[mm] V=\pi*(-\bruch{1}{3}*(1+x_0)^{-3}*x_0^2-\bruch{1}{6}*(1+x_0)^{-4}*x_0-\bruch{1}{30}*(1+x_0)^{-5}+\bruch{1^{-4}}{30})
[/mm]
[mm] x_0\rightarrow\infty [/mm] = [mm] \bruch{1}{30}
[/mm]
richtig gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 07.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
Du hast bei der 2. Aufgabe falsch umgeformt. Es gilt:
[mm] $$y^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{\wurzel{x}}{1+x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{(1+x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{1+2x+x^2}$$
[/mm]
Zum Integrieren musst Du hier erst den Bruch zerlegen und anschließend substituieren.
Gruß
Loddar
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also ich hab jetzt folgendes gemacht:
[mm] y^2=\bruch{x}{(1+x)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{(1+x)^2}=\bruch{A}{(1+x)}+\bruch{B}{(1+x)^2} |*(1+x)^2
[/mm]
x=A*(1+x)+B
einsetzen:x=-1
-1=A*0+B
B=-1
[mm] \bruch{x-B}{1+x}=A
[/mm]
[mm] A=\bruch{x+1}{1+x}=1
[/mm]
[mm] \integral_0^{x_0}{\bruch{x}{(1+x)^2}}=\integral_0^{x_0}{\bruch{1}{1+x}}-\integral_0^{x_0}{\bruch{1}{(1+x)^2}}=ln|1+x||_0^{x_0}+\bruch{1}{1+x}|_0^{x_0}=ln|1+x_0|+\bruch{1}{1+x_0}-1
[/mm]
somit wäre die lösung:
[mm] V=\pi*(ln|1+x_0|+\bruch{1}{1+x_0}-1)
[/mm]
substituiert hab ich hierbei aber gar nicht.
ist das bis hierhin zunächst richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen BlubbBlubb!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig soweit!
Nun noch den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] ermitteln.
Gruß
Loddar
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wie bestimme ich denn den grenzwert eines logarithmus vielleicht so:
[mm] x\rightarrow\infty |ln(x)|=\infty
[/mm]
damit wäre dann die lösung für meine aufgabe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \pi*(ln|1+x_0|)+\bruch{1}{1+x_0}-1)=\pi*(\infty+0-1)=\infty [/mm]
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Hallo,
[mm] \limes_{x_0\rightarrow\infty}ln|1+x_0|=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x_0\rightarrow\infty}\bruch{1}{1+x_0}=0
[/mm]
-1 bleibt stehen
somit ist dein Ergebnis korrekt
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Fr 08.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay damit wäre diese aufgabe auch abgehackt.
achja, wisst ihr vielleicht woran man erkennt oder welche aufgabentypen sich am besten mit der substitutionmethode und welche mit der partiellen integration lösen lassen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Do 07.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schachuzipus!
Ein kleiner Fehler durchs Ausklammern ist noch drin. Es muss heißen:
[mm] $$\frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4-\frac{1}{\red{2}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4,5\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Schachuzipus!
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> Ein kleiner Fehler durchs Ausklammern ist noch drin. Es
> muss heißen:
>
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4-\frac{1}{\red{2}}\right] \ = \ \frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4,5\right][/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
was ist dem mit dem cosinus anteil?
ich hab da raus:
[mm] \bruch{1}{2}*sin(2x)*(x^2-4,5)+\bruch{1}{2}*cos(2x)*x [/mm]
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Hallo nochmal,
> > Hallo Schachuzipus!
> >
> >
> > Ein kleiner Fehler durchs Ausklammern ist noch drin. Es
> > muss heißen:
> >
> >
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4-\frac{1}{\red{2}}\right] \ = \ \frac{1}{2}\cdot{}\sin(2x)\cdot{}\left[x^2-4,5\right][/mm]
>
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
>
> was ist dem mit dem cosinus anteil?
Loddar und ich sprachen nur vom Sinus-Anteil 
>
> ich hab da raus:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*sin(2x)*(x^2-4,5)+\bruch{1}{2}*cos(2x)*x[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau richtig!
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 07.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
jippi ein erfolgserlebnis ^^
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