Integral über 1/z < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Und zwar hatten wir gesagt dass für beliebige Wege [mm] \gamma [/mm] in [mm] \IC\backslash [/mm] {0}, welche die Punkte [mm] z_{1}, z_{2} \in \IC\backslash [/mm] {negative reelle Achse mit 0}, verbindet, gilt:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] log(z_{2}) [/mm] - [mm] log(z_{1}) [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] ik für ein k [mm] \in \IZ
[/mm]
gilt.
So warum das gilt ist mir klar, Beweis hab ich verstanden. Allerdings ist mir eine Bemerkung unseres Übungsleiters darüber unklar.
Und zwar hat er gemeint, dass man sich dies so vorstellen kann:
wenn wir nun den Weg abgehen und wir kommen über die neg. reelle Achse gehen wir praktisch einmal ganz außenrum (kompletter 2 [mm] \pi [/mm] - Kreis) und somit bekommt man praktisch jedes mal 2 [mm] \pi [/mm] i dazu... allerdings finde ich, dass man dies doch so nicht sagen kann oder? Weil dieser "neue" Weg meines Erachtens nach nicht homotop zum alten Weg ist und man so nicht mit der Homotpieinvarianz argumengtieren kann.
War das alles Quatsch oder was wollte er uns damit sagen? :-D
Hoffe auf eine Antwort
Viele Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 18.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
>
> Und zwar hatten wir gesagt dass für beliebige Wege [mm]\gamma[/mm]
> in [mm]\IC\backslash[/mm] {0}, welche die Punkte [mm]z_{1}, z_{2} \in \IC\backslash[/mm]
> {negative reelle Achse mit 0}, verbindet, gilt:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z} dz} = log(z_{2}) - log(z_{1}) + 2 \pi ik [/mm] für ein [mm]k\in \IZ[/mm]
>
> gilt.
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> So warum das gilt ist mir klar, Beweis hab ich verstanden.
> Allerdings ist mir eine Bemerkung unseres Übungsleiters
> darüber unklar.
>
> Und zwar hat er gemeint, dass man sich dies so vorstellen
> kann:
>
> wenn wir nun den Weg abgehen und wir kommen über die neg.
> reelle Achse gehen wir praktisch einmal ganz außenrum
> (kompletter 2 [mm]\pi[/mm] - Kreis) und somit bekommt man praktisch
> jedes mal 2 [mm]\pi[/mm] i dazu... allerdings finde ich, dass man
> dies doch so nicht sagen kann oder? Weil dieser "neue" Weg
> meines Erachtens nach nicht homotop zum alten Weg ist und
> man so nicht mit der Homotpieinvarianz argumengtieren
> kann.
> War das alles Quatsch oder was wollte er uns damit sagen?
> :-D
Ich vermute mal, er meint das so:
Der Weg [mm] $\gamma$ [/mm] geht ja vom Punkt [mm] $z_1$ [/mm] zum punkt [mm] $z_2$ [/mm] und windet sich dabei eine gewisse Anzahl von Malen um den Ursprung. Diesen Weg kann ich schreiben als zwei hintereinander durchlaufene Wege, nämlich einer, der sich gar nicht um den Ursprung windet, und einen geschlossenen Weg um den Ursprung (mit der gleichen Anzahl von Windungen wie er ursprüngliche Weg). Jeder geschlossene Weg mit n Windungen lässt sich als Summe von n geschlossenen Wegen schreiben, die jeder genau einmal um den Ursprung herumgehen. Alle diese n einfach gewundenen Wege sind zueinander homotop. Jeder dieser Wege trägt einen Term [mm] $2\pi [/mm] i$ bei.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 19.03.2009 | | Autor: | Caroline |
Danke für die schnelle Antwort  ,
also ja, das kann ich mir vorstellen, wenn der Weg sich ein paar mal um den Nullpunkt windet... Aber wir hatten dort ein Bild wo der Weg sich nicht durch den Nullpunkt bindet z.B. die "normale" Verbindung von den Punkten z1 = -1 +i und z2 = -1 -i. Dann hat er gemeint, da es einmal die negative Achse durchkreuzt muss man dann [mm] 2\pi [/mm] i dazuzählen, da man dann praktisch "ganz außenrum" laufen muss, da der log da nicht definiert ist... Das kam mir dann ein wenig komisch vor, da man nun eben keine Windung um den Urpsrung hat...
LG
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 19.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Danke für die schnelle Antwort ,
>
> also ja, das kann ich mir vorstellen, wenn der Weg sich ein
> paar mal um den Nullpunkt windet... Aber wir hatten dort
> ein Bild wo der Weg sich nicht durch den Nullpunkt bindet
> z.B. die "normale" Verbindung von den Punkten z1 = -1 +i
> und z2 = -1 -i. Dann hat er gemeint, da es einmal die
> negative Achse durchkreuzt muss man dann [mm]2\pi[/mm] i dazuzählen,
> da man dann praktisch "ganz außenrum" laufen muss, da der
> log da nicht definiert ist... Das kam mir dann ein wenig
> komisch vor, da man nun eben keine Windung um den Urpsrung
> hat...
Na doch, denn der Unterschied zwischen den beiden Wegen ist eine Windung um den Ursprung, weil du den einen Weg vorwärts und den anderen rückwärts durchläufst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Caroline |
Danke
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