Integral über Einheitskugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 12.12.2010 | | Autor: | sally99 |
| Aufgabe | Sei [mm] K_1(0) [/mm] die Einheitskugel im [mm] \IR^n [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2.
Zeige: Die Funktion f(0)=0 und f(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-||x||^2}} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 ist über die Einheitskugel integrierbar.
Berechne für n= 2,3,4 das Integral [mm] \integral_{K_1(0)}^{}{f dx}. [/mm] |
Hallo!
Ich hoffe, ich mache das mit der Formatierung alles richtig...?
Mich beschäftigt der zweite Teil der obigen Aufgabe. Wir haben zur Zeit n-dimensionale Polarkoordinaten und den Transformationssatz als Themen. Deshalb gehe ich davon aus, dass wir das Integral mit Polarkoordinaten berechnen sollen.
Also für n=2 sieht die Funktion ja so aus:
f(x,y)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2+y^2}} [/mm] Das transformiert ist:
[mm] f(r,\phi)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}
[/mm]
[mm] \integral_{K_1(0)}^{}{f dx}=\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}d\phi}dr}=...=4\pi
[/mm]
Ist das korrekt?
Bei n=3 komme ich gewaltig ins Straucheln:
f(x,y,z)=f(x,y)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2+y^2+z^2}} [/mm] Das transformiert ist:
[mm] f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*sin(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}
[/mm]
Denn 3D-Polarkoordinaten sind doch Kugelkoordinaten, oder? Oder kann ich da auch Zylinderkoordinaten nehmen?
Könnt ihr mir helfen? Das wäre super!!!!
Ganz viele Grüße von sally99
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo sally99,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]K_1(0)[/mm] die Einheitskugel im [mm]\IR^n[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2.
> Zeige: Die Funktion f(0)=0 und f(x)=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-||x||^2}}[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0 ist über die
> Einheitskugel integrierbar.
> Berechne für n= 2,3,4 das Integral
> [mm]\integral_{K_1(0)}^{}{f dx}.[/mm]
> Hallo!
> Ich hoffe, ich mache das mit der Formatierung alles
> richtig...?
Bis jetzt ist die Formatierung ok.
>
> Mich beschäftigt der zweite Teil der obigen Aufgabe. Wir
> haben zur Zeit n-dimensionale Polarkoordinaten und den
> Transformationssatz als Themen. Deshalb gehe ich davon aus,
> dass wir das Integral mit Polarkoordinaten berechnen
> sollen.
>
> Also für n=2 sieht die Funktion ja so aus:
> f(x,y)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2+y^2}}[/mm] Das transformiert
Das muss doch hier lauten:
[mm]f(x,y)= \bruch{1}{\wurzel{1-\left\blue{(}x^2+y^2\right\blue{)}}}[/mm]
> ist:
> [mm]f(r,\phi)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{K_1(0)}^{}{f dx}=\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}d\phi}dr}=...=4\pi[/mm]
Wenn Du schon in Polarkoordinaten transformierst, dann richtig.
Es ergibt sich hier:
[mm]\integral_{K_1(0)}^{}{f dx}=\integral_{\blue{0}}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}d\phi}dr}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
> Bei n=3 komme ich gewaltig ins Straucheln:
> f(x,y,z)=f(x,y)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2+y^2+z^2}}[/mm] Das
Hier ebenfalls Klammern setzen:
[mm]f(x,y,z)= \bruch{1}{\wurzel{1-\left\blue{(}x^2+y^2+z^2\right\blue{)}}}[/mm]
> transformiert ist:
> [mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*sin(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
Das muss doch hier lauten:
[mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*\blue{\cos}(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
Für das zugehörige Integral benötigst Du noch
die Funktionaldeterminante der Parametertransformation.
>
> Denn 3D-Polarkoordinaten sind doch Kugelkoordinaten, oder?
Ja.
> Oder kann ich da auch Zylinderkoordinaten nehmen?
>
> Könnt ihr mir helfen? Das wäre super!!!!
> Ganz viele Grüße von sally99
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 12.12.2010 | | Autor: | sally99 |
Hallo Mathepower!
Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort!!!!!!!
>
>
Danke!!!!!!
>
> [mm]\integral_{K_1(0)}^{}{f dx}=\integral_{\blue{0}}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}d\phi}dr}[/mm]
>
Oh, okay, dann erhalte ich nur noch [mm] 2\pi. [/mm]
> >
> > [mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*sin(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
>
> Das muss doch hier lauten:
>
> [mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*\blue{\cos}(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
>
Deine Transformation habe ich jetzt im Internet gefunden, unser Prof hat sie allerdings so definiert:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{r*cos(\phi_1)*sin(\phi_2) \\ r*sin(\phi_1)*cos(\phi_2) \\ r*sin(\phi_2)}, [/mm] deshalb bei mir das sin.
Für die letzte Koordinate habe ich auch [mm] r*cos(\phi_2) [/mm] gefunden.
Woran erkenne ich, was ich verwenden muss?
> Für das zugehörige Integral benötigst Du noch
> die Funktionaldeterminante der Parametertransformation.
>
Stimmt, die ist: [mm] r^2*cos(\phi_2).
[/mm]
Kannst du mir da nochmal helfen?
Viele Grüße
sally
|
|
|
| |
|
Hallo sally99,
> Hallo Mathepower!
> Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche
> Antwort!!!!!!!
>
> >
> >
> Danke!!!!!!
> >
> > [mm]\integral_{K_1(0)}^{}{f dx}=\integral_{\blue{0}}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}d\phi}dr}[/mm]
>
> >
> Oh, okay, dann erhalte ich nur noch [mm]2\pi.[/mm]
>
> > >
> > > [mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*sin(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
>
> >
> > Das muss doch hier lauten:
> >
> > [mm]f(r,\phi_1,\phi_2)= \bruch{1}{\wurzel{1-r^2*(cos(\phi_1)^2*\blue{\cos}(\phi_2)^2+sin(\phi_1)^2*cos(\phi_2)^2+sin(\phi_2)^2)}}[/mm]
>
> >
>
> Deine Transformation habe ich jetzt im Internet gefunden,
> unser Prof hat sie allerdings so definiert:
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{r*cos(\phi_1)*sin(\phi_2) \\ r*sin(\phi_1)*cos(\phi_2) \\ r*sin(\phi_2)},[/mm]
> deshalb bei mir das sin.
Dann ist das keine Einheitskugel.
> Für die letzte Koordinate habe ich auch [mm]r*cos(\phi_2)[/mm]
> gefunden.
>
> Woran erkenne ich, was ich verwenden muss?
Je nach Prof ist das verschieden, welche Transformation verwendet wird.
> > Für das zugehörige Integral benötigst Du noch
> > die Funktionaldeterminante der Parametertransformation.
> >
> Stimmt, die ist: [mm]r^2*cos(\phi_2).[/mm]
Dann ist die Parameterdarstellung diese:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=r*\pmat{\cos\left(\phi_{2}\right)*\cos\left(\phi_1\right) \\ \cos\left(\phi_{2}\right)*\sin\left(\phi_1\right) \\\ \sin\left(\phi_{2}\right)}[/mm]
Demnach hat sich Dein Prof bei der Transformation verschrieben.
>
> Kannst du mir da nochmal helfen?
> Viele Grüße
> sally
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Di 21.12.2010 | | Autor: | sally99 |
Hallo MathePower!
Ich habe es hinbekommen. Am Dienstag hat unser Prof das dann auch korrigiert. Dank dir musste ich die Aufgabe aber nicht nochmal rechnen.
Vielen, vielen Dank!!!!
sally99
|
|
|
|
