Integral über Hausdorff Maß < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie für [mm] R_1 [/mm] = {(2,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] y^2 +z^2 \le [/mm] 4 } das Integral
[mm] \integral_{R_1}{x^2 y^2 +z^2 x^2 + \bruch{3}{2} z -xy^2 -xz^2 d \mathcal{H}^2} [/mm] |
Nabend zusammen!
Ich soll oberes Integral nach dem Hausdorffmaß integrieren. Normalerweise veränder ich es mit Gauß, allerdings ist das hier nicht so einfach. Könnt ihr mir einen kleinen Tipp geben, mit welchem Trick man das Integral ausrechnen kann? Vielleicht hängt es ja mit der x Komponente in [mm] R_1 [/mm] zusammen? Dürfte man z.b. schonmal für alle x = 2 setzen? Und was könnte man dann machen?
Liebe Grüße,
Evelyn
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Hallo,
> Berechnen Sie für [mm] R_1 [/mm] = {(2,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] y^2 +z^2 \le
[/mm]
> 4 } das Integral
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> [mm] \integral_{R_1}{x^2 y^2 +z^2 x^2 + \bruch{3}{2} z -xy^2 -xz^2 d \mathcal{H}^2}
[/mm]
> Ich soll oberes Integral nach dem Hausdorffmaß
> integrieren. Normalerweise veränder ich es mit Gauß,
> allerdings ist das hier nicht so einfach. Könnt ihr mir
> einen kleinen Tipp geben, mit welchem Trick man das
> Integral ausrechnen kann? Vielleicht hängt es ja mit der x
> Komponente in [mm]R_1[/mm] zusammen? Dürfte man z.b. schonmal für
> alle x = 2 setzen? Und was könnte man dann machen?
Ob man $x = 2$ setzen kann, hängt von der Definition des Hausdorffmaßes ab (die kenne ich leider nicht)
Kannst du nicht die ![[]](/images/popup.gif) Flächenformel anwenden?
Eine injektive differenzierbare Funktion sollte doch durch die Umkehrfunktion von [mm] $\phi: (0,2\pi)\times (0,2)\times [/mm] (-1,3) [mm] \to R_1 \times [/mm] (-1,3), [mm] (\phi,r,z) \mapsto [/mm] (r [mm] \cos(\phi), [/mm] r [mm] \sin(\phi),z)$ [/mm] gegeben sein.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > Berechnen Sie für [mm]R_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(2,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] : [mm]y^2 +z^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4 } das Integral
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> > [mm]\integral_{R_1}{x^2 y^2 +z^2 x^2 + \bruch{3}{2} z -xy^2 -xz^2 d \mathcal{H}^2}[/mm]
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> > Ich soll oberes Integral nach dem Hausdorffmaß
> > integrieren. Normalerweise veränder ich es mit Gauß,
> > allerdings ist das hier nicht so einfach. Könnt ihr mir
> > einen kleinen Tipp geben, mit welchem Trick man das
> > Integral ausrechnen kann? Vielleicht hängt es ja mit der x
> > Komponente in [mm]R_1[/mm] zusammen? Dürfte man z.b. schonmal für
> > alle x = 2 setzen? Und was könnte man dann machen?
>
> Ob man [mm]x = 2[/mm] setzen kann, hängt von der Definition des
> Hausdorffmaßes ab (die kenne ich leider nicht)
>
> Kannst du nicht die
> Flächenformel
> anwenden?
>
> Eine injektive differenzierbare Funktion sollte doch durch
> die Umkehrfunktion von [mm]\phi: (0,2\pi)\times (0,2)\times (-1,3) \to R_1 \times (-1,3), (\phi,r,z) \mapsto (r \cos(\phi), r \sin(\phi),z)[/mm]
> gegeben sein.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
hey Stefan!
Ich hab mir die Formel mal angesehen und verstehe sie soweit, nur wie kommst du auf die genannte Umkehrfunktion? Also
Eine injektive differenzierbare Funktion sollte doch durch
die Umkehrfunktion von [mm]\phi: (0,2\pi)\times (0,2)\times (-1,3) \to R_1 \times (-1,3), (\phi,r,z) \mapsto (r \cos(\phi), r \sin(\phi),z)[/mm]
Das sieht aus wie ein Zylinder, dabei ist [mm] R_1 [/mm] eher eine Art Kreisscheibe?
Viele Grüße zurück,
Evelyn
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Hallo Evelyn,
> Ich hab mir die Formel mal angesehen und verstehe sie
> soweit, nur wie kommst du auf die genannte Umkehrfunktion?
> Also
>
> Eine injektive differenzierbare Funktion sollte doch durch
> die Umkehrfunktion von [mm]\phi: (0,2\pi)\times (0,2)\times (-1,3) \to R_1 \times (-1,3), (\phi,r,z) \mapsto (r \cos(\phi), r \sin(\phi),z)[/mm]
>
> Das sieht aus wie ein Zylinder, dabei ist [mm]R_1[/mm] eher eine Art
> Kreisscheibe?
Das ist richtig, aber die Voraussetzungen des Satzes verlangen, dass die Menge [mm] $R_1$ [/mm] in einem Gebiet von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] liegen soll, und [mm] $\phi^{-1}$ [/mm] soll von diesem Gebiet starten (sonst kannst du ja auch nicht so gut Ableitungen berechnen). Deswegen habe ich das mit dem Zylinder (statt mit der Scheibe) gemacht.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo Evelyn,
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> > Ich hab mir die Formel mal angesehen und verstehe sie
> > soweit, nur wie kommst du auf die genannte Umkehrfunktion?
> > Also
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> > Eine injektive differenzierbare Funktion sollte doch durch
> > die Umkehrfunktion von [mm]\phi: (0,2\pi)\times (0,2)\times (-1,3) \to R_1 \times (-1,3), (\phi,r,z) \mapsto (r \cos(\phi), r \sin(\phi),z)[/mm]
> >
> > Das sieht aus wie ein Zylinder, dabei ist [mm]R_1[/mm] eher eine Art
> > Kreisscheibe?
>
> Das ist richtig, aber die Voraussetzungen des Satzes
> verlangen, dass die Menge [mm]R_1[/mm] in einem Gebiet von [mm]\IR^{3}[/mm]
> liegen soll, und [mm]\phi^{-1}[/mm] soll von diesem Gebiet starten
> (sonst kannst du ja auch nicht so gut Ableitungen
> berechnen). Deswegen habe ich das mit dem Zylinder (statt
> mit der Scheibe) gemacht.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
>
Ah das verstehe ich nun! Aber darauf muss man erstmal kommen :P
Vielen Dank Stefan!
Viele Grüße zurück,
Eve
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