Integral über Polynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Fr 15.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Für $a,b,c\in\IN_0$ gilt $\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)^ax^by^c\ dy\ dx=\frac{a!b!c!}{(a+b+c+2)!}$. |
Hey,
Sollte ja eigentlich kein Problem sein, der Integrand ist ein Polynom in zwei Variablen. Habe es also mit der Brechstange versucht (binomischer Satz) und komme für die linke Seite auf $$\sum_{k=0}^a\sum_{l=0}^{k+c+1}{a\choose k}{k+c+1\choose l}\frac{(-1)^{k-l}}{(k+c+1)(b+l+1)$$ Wahrscheinlich hab ich mich auch unterwegs irgendwo verrechnet, jedenfalls hab ich das Gefühl ich steck in ner Sackgasse, es gibt sicher einen einfacheren Weg. Vielleicht ein induktives Argument?
Gruß, Robert
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Setze für [mm]m,n \geq 0[/mm] ganzzahlig: [mm]I(m,n) = \int_0^1 (1-t)^m t^n~\mathrm{d}t[/mm]
Mit der Substitution [mm]y = (1-x) \, t[/mm] findest du dann für das innere Integral
[mm]\int_0^{1-x} (1-x-y)^a y^c~\mathrm{d}y = I(a,c) \cdot (1-x)^{a+c+1}[/mm]
und schließlich insgesamt
[mm]\int_0^1 \int_0^{1-x} (1-x-y)^a x^b y^c~\mathrm{d}y~\mathrm{d}x = \int_0^1 I(a,c) \cdot (1-x)^{a+c+1} x^b~\mathrm{d}x = I(a,c) \cdot I(a+c+1,b)[/mm]
Mit [mm]I(m,0) = \frac{1}{m+1}[/mm] folgt aus [mm]I(m,n) = \frac{n}{m+1} \cdot I(m+1,n-1)[/mm] für [mm]n>0[/mm] (partielle Integration) durch [mm]n[/mm]-malige Anwendung
[mm]I(m,n) = \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Sa 16.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Super, Danke!
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