Integral über Tangesfkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 27.11.2005 | | Autor: | bob05 |
Hallo zusammen,
ich habe Schwierigkeiten folgendes Integral zu lösen:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{tan(\bruch{1}{2}a)}{\bruch{1}{2}(tan²(\bruch{1}{2}a+1)}da}
[/mm]
Also dass der Nenner die Ableitung des Zählers ist ist mir klar. Und wenn Zähler und Nenner vertauscht wären würde das auch ganz nett über die ln-Funktion funktionieren, aber so...?
Wäre für Hilfe dankbar.
Vielen Dank,
bob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo bobo
Du hast dich mit der Ableitung im Nenner vertan: [mm] (tanx)'=\bruch{1}{1+tan^{2}} [/mm] also steht in deinem Integral nit f/f' sondern [mm] f*f'=1/2*(f^{2})
[/mm]
(Das gilt alles nur, wenn du deinen Nenner falsch geschrieben hast und da tan()+1 und nicht tan(..+1) steht)
Hinweis: immer die eigenen postings in Vorschau ansehen, wenn sie Formeln enthalten. das spart den Helfern viel Kopfzerbrechen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 27.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Wenn es richtig lauten würde:
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{tan(\bruch{1}{2}a)}{\bruch{1}{2}(tan²(\bruch{1}{2}a)+1}da} [/mm] $
Welche Substitution nehme ich denn dann?
angenommen ich nehme z= [mm] tan²(\bruch{1}{2}a)
[/mm]
dann ist z' = irgendetwas richtig kompliziertes
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{tan(\bruch{1}{2}a)}{\bruch{1}{2}(tan²(\bruch{1}{2}a)+1} \bruch{dz}{z'}}
[/mm]
Bringt mir aber nichts. Jedenfalls nicht mit der Substitution, auch wenn ich tangens in [mm] \bruch{sinx}{cosx} [/mm] umwandel, hilft mir das nicht weiter.
Kann man mir da mal weiterhelfen?
Grüße Phoney
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Hallo Phoney,
> Hallo.
> Wenn es richtig lauten würde:
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{tan(\bruch{1}{2}a)}{\bruch{1}{2}(tan²(\bruch{1}{2}a)+1}da}[/mm]
>
> Welche Substitution nehme ich denn dann?
>
> angenommen ich nehme z= [mm]tan²(\bruch{1}{2}a)[/mm]
> dann ist z' = irgendetwas richtig kompliziertes
>
> $ [mm]\integral_{}^{} {\bruch{tan(\bruch{1}{2}a)}{\bruch{1}{2}(tan²(\bruch{1}{2}a)+1} \bruch{dz}{z'}}[/mm]
>
> Bringt mir aber nichts. Jedenfalls nicht mit der
> Substitution, auch wenn ich tangens in [mm]\bruch{sinx}{cosx}[/mm]
> umwandel, hilft mir das nicht weiter.
>
> Kann man mir da mal weiterhelfen?
nehme stattdessen die Substitution
[mm]
\begin{gathered}
z\; = \;\tan \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right) \hfill \\
dz\; = \;\frac{1}
{2}\;\left( {1\; + \;\tan ^2 \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)\;d\alpha \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Oh man, da habe ich bei den Grundprinzipien der Substitution aber ganz schön gepatzt.
Danke.
Phoney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Nachdem ich die die hälfte meines Tages darüber nachgedacht habe (etwas umgewandelt):
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{tan(\bruch{a}{2}}{\bruch{tan^{2}(\bruch{a}{2})}+1}*\bruch{dz}{tan^{2}(\bruch{a}{2})+1}
[/mm]
mit der Substitution z= [mm] tan(\bruch{a}{2}
[/mm]
Daraus entsteht
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{z}{\bruch{z^{2}+1}}*\bruch{dz}{z^{2}+1}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b} \bruch{z}{(\bruch{z^{2}+1}}^{2}dz
[/mm]
Und wie dann weiter?
(Sehe nicht, dass ich irgendetwas kürzen kann, und integrieren kann ich den Term schon gar nicht, auch wenn es traurig klingt.)
Mach ich jetzt eine zweite Substitution und sage g(x) = [mm] z^2?
[/mm]
Grüße Phoney
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Hallo Phoney,
> Hallo.
> Nachdem ich die die hälfte meines Tages darüber
> nachgedacht habe (etwas umgewandelt):
> [mm]\integral_{a}^{b} \bruch{tan(\bruch{a}{2}}{\bruch{tan^{2}(\bruch{a}{2})}+1}*\bruch{dz}{tan^{2}(\bruch{a}{2})+1}[/mm]
>
> mit der Substitution z= [mm]tan(\bruch{a}{2}[/mm]
>
> Daraus entsteht
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \bruch{z}{\bruch{z^{2}+1}}*\bruch{dz}{z^{2}+1}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b} \bruch{z}{(\bruch{z^{2}+1}}^{2}dz[/mm]
>
> Und wie dann weiter?
> (Sehe nicht, dass ich irgendetwas kürzen kann, und
> integrieren kann ich den Term schon gar nicht, auch wenn es
> traurig klingt.)
>
> Mach ich jetzt eine zweite Substitution und sage g(x) =
> [mm]z^2?[/mm]
Ja.
Nehme aber statt
[mm]g(z)\; = \;z^2[/mm]
besser
[mm]g(z)\; = \;z^2 \; + \;1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Mo 28.11.2005 | | Autor: | bob05 |
Hallo,
> Du hast dich mit der Ableitung im Nenner vertan:
Du hast recht, trotz Vorschau hat sich da ein Fehler eingeschlichen. Sorry.
> [mm](tanx)'=\bruch{1}{1+tan^{2}}[/mm]
Also laut Wikipedia, Bronstein, etc. gilt:
[mm](tanx)'=1+tan^{2}[/mm]
Und dann funktioniert der Weg auch nicht, wobei wir wieder bei der Ausgangsfrage wären.
Gruss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo!
Also,
du kannst dein Intergral wie folgt umformen:
tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)
[mm] 1/2(tan^2(a/2)+1)=1/(cos(a)+1)
[/mm]
das ergibt (sin(a/2)/cos(a/2))*(cos(a)+1)=sin(a)
[mm] \rightarrow \integral_{}{} [/mm] sin(a)
das müsstest du jetzt bilden können, das ist -cos(a)
Die Umformungen kann man alle mit Hilfe von den entsprechenden sinus und cosinus rechenregeln nachvollziehen, die musst du dir aber selber raussuchen zum Lernen!
Bis dann
Dr.Ufo
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