Integral über exp(..)*sin(...) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Do 15.10.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich bin gerade dabei (Physik) den Radius eines Atomkernes aus einem Streuexperiment zu bestimmen.
Unterwegs ist mir nun in etwa folgendes Integral begegnet:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr}
[/mm]
wobei [mm] a,b\in\IR [/mm] und a<0 gilt.
Lässt sich so ein Integral ohne Tafelwerk lösen? (Residuenkalkül will ich möglichst auch nicht auspacken...)
Hat jemand eine Idee, wie man das Integral auf einfache Weise bestimmt?
Viele Grüsse,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich bin gerade dabei (Physik) den Radius eines Atomkernes
> aus einem Streuexperiment zu bestimmen.
>
> Unterwegs ist mir nun in etwa folgendes Integral begegnet:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr}[/mm]
Wenn du weisst, wie man die ![[]](/images/popup.gif) Errorfunktion integriert, eventuell zweimal partiell integrieren und versuchen das urspruengliche Integral daraus zu eliminieren?
Schoen wird das allerdings nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 15.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ohne das Quadrat in der Exp-Funktion würde die Lösung im Tafelwerk stehen, es gilt:
[mm] \integral e^{az}*\sin(bz)dz=\bruch{e^{a^z}}{a^{2}+b^{2}}\left(a\sin(bx)+b\cos(bx)\right)
[/mm]
Nicht schön, aber immerhin ne Lösung
Durch das *r am Ende deines Integrals könnte man ja mal versuchen, partiell zu integrieren, also:
[mm] \integral\overbrace{e^{az}*\sin(bz)}^{\Box}*\overbrace{z}^{\Box}dz
[/mm]
Aber wie gesagt, das ist nur ne Idee, die nicht wirklich zuende gedacht ist.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 15.10.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo an alle,
danke für eure Antworten. An eine Lösung des Integrals zu kommen ist nicht das Problem (klar, Tafelwerk, Mathematica). Selbst zu Fuß könnte fallen mir (habe ich nicht ganz durchgedacht, d.h. es müssen nicht alle funktionieren :-D ) ein paar Möglichkeiten ein. Die sind allerdings alle lange, nicht trivial und überhaupt nicht schön.
Ich war der Hoffnung, dass evtl. jemand DEN TRICK schlechthin kennt. (sofern es einen gibt) (man lernt ja schließlich auch noch gerne dazu)
Viele Grüße,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 15.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo an alle,
Hallo
>
> danke für eure Antworten. An eine Lösung des Integrals zu
> kommen ist nicht das Problem (klar, Tafelwerk,
> Mathematica). Selbst zu Fuß könnte fallen mir (habe ich
> nicht ganz durchgedacht, d.h. es müssen nicht alle
> funktionieren :-D ) ein paar Möglichkeiten ein. Die sind
> allerdings alle lange, nicht trivial und überhaupt nicht
> schön.
Wohl wahr. Aber wenn es im Tafelwerk auftaucht, kannst du sich auch darauf beziehen.
>
> Ich war der Hoffnung, dass evtl. jemand DEN TRICK
> schlechthin kennt. (sofern es einen gibt) (man lernt ja
> schließlich auch noch gerne dazu)
Wenn jemand den gefunden hätte, stünde das Ergebnis wahrscheinlich in den Tafelwerken 
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Do 15.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rutzel!
> Unterwegs ist mir nun in etwa folgendes Integral begegnet:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr}[/mm]
>
> wobei [mm]a,b\in\IR[/mm] und a<0 gilt.
>
> Lässt sich so ein Integral ohne Tafelwerk lösen?
Zunächst einmal: da der Integrand eine gerade Funktion von r ist, ist
[mm]\integral_{0}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr} = \bruch{1}{2} \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr}[/mm]
Ersetze den Sinus durch e-Funktionen: [mm] $\sin(br) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{ibr}-e^{-ibr})$, [/mm] zerlege damit das Integral in die Summe zweier Integrale und fasse die e-Funktionen zusammen:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{-\infty}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr} = \bruch{1}{4i} \integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(a*r^2+ibr) r dr} - \bruch{1}{4i} \integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(a*r^2-ibr) r dr} [/mm]
Bedenke nun, dass
[mm] \bruch{d}{dr} \exp(a*r^2+ibr) = (2ar+ib)\exp(a*r^2+ibr) [/mm]
ist, und daher
[mm] r* \exp(a*r^2+ibr) = \bruch{1}{2a} \bruch{d}{dr} \exp(a*r^2+ibr) - \bruch{ib}{2a}\exp(a*r^2+ibr) [/mm]
Also ist
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(a*r^2+ibr) r dr} = \bruch{1}{2a} \integral_{-\infty}^{\infty}\bruch{d}{dr} \exp(a*r^2+ibr) dr - \bruch{ib}{2a}\integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(a*r^2+ibr)dr} [/mm]
Das erste Integral ist 0, und das zweite kannst du so ausrechnen wie hier: Du machst du quadratische Ergänzung im Exponenten und substituierst:
[mm] a*r^2+ibr = a\left(r+\bruch{ib}{2a}\right)^2 + \bruch{b^2}{4a} \implies s = r+\bruch{ib}{2a}[/mm] .
Damit bekommst du
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} e^{as^2} \exp\left(\bruch{b^2}{4a}\right) ds = \exp\left(\bruch{b^2}{4a} \right)\integral_{-\infty}^{\infty} e^{as^2} ds = \exp\left(\bruch{b^2}{4a}\right) \bruch{\wurzel{\pi}}{\wurzel{|a|}} [/mm]
Alle Vorfaktoren richtig aufgesammelt ergibt sich
[mm] \integral_{0}^{\infty}{exp(a*r^2)*\sin(b*r)*r dr} = \bruch{\wurzel{\pi}}{4\wurzel{|a|}^3} \exp\left(\bruch{b^2}{4a}\right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Grüße
