Integral von 1/x < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:13 Fr 17.07.2015 | | Autor: | sinnlos123 |
Hi,
Im Anhang ist 1/x auf dem Abschnitt 0-2 aufgezeichnet.
Mich würde interessieren ob das Verhältnis blau/rot in einem Abschnitt der Länge 1 (z.b. von 5-6) sich einem Grenzwert annähert. (1 vll?)
Grün soll einfach nur darstellen, dass diese Fläche einfach zu berechnen ist und nichts interessantes birgt.
Kann man außerdem sagen, dass alles vor 1 allem nach 1 identisch ist? (0 bis 1 vs 1 bis [mm] \infty)
[/mm]
Natürlich alles vor 1 minus dem 1*1 Kasten
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hi,
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> Im Anhang ist 1/x auf dem Abschnitt 0-2 aufgezeichnet.
>
> Mich würde interessieren ob das Verhältnis blau/rot in
> einem Abschnitt der Länge 1 (z.b. von 5-6) sich einem
> Grenzwert annähert. (1 vll?)
Hallo,
ich habe das eben mal (recht flüchtig) gerechnet und festgestellt, daß blau/rot einen Grenzwert hat, nämlich 2.
Vielleicht rechnest Du auch mal, stellst Deine Rechnung vor, und dann kann man weitersehen.
> Grün soll einfach nur darstellen, dass diese Fläche
> einfach zu berechnen ist und nichts interessantes birgt.
>
> Kann man außerdem sagen, dass alles vor 1 allem nach 1
> identisch ist? (0 bis 1 vs 1 bis [mm]\infty)[/mm]
> Natürlich alles vor 1 minus dem 1*1 Kasten
Kapiere ich nicht.
Fakt ist: der Graph ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden - falls das, was Du ausdrücken möchtest, etwas damit zu tun hat.
LG Angela
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Fr 17.07.2015 | | Autor: | sinnlos123 |
Ja, das mit der Winkelhalbierenden meine ich.
Nun, das mit dem Grenzwert würde ich so lösen:
Das Integral ist ja ln(x).
Daher:
[mm] [ln(x)-1*1/x]^{n}_{n-1} [/mm] vs 1*(1/(n-1)+1/n)/2
[mm] \bruch{[ln(x)-\bruch{1}{x}]^{n}_{n-1}}{\bruch{1/(n-1)+1/n}{2}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}{\bruch{1/(n-1)+1/n}{2}}
[/mm]
Jetzt könnte man vermutlich schon einfach einen hohen Wert einsetzen und man käme drauf.
Ich versuche die Gleichung noch zu vereinfachen, so dass man es ohne Taschenrechner lösen kann.
Aso, glaube man müsste den Bruch einmal inversieren für das Verhältnis im Startpost. Das kann man dann aber auch einfach mit der Zahl machen die rauskommt.
Edit: aso das ist nicht richtig, ich habe die Blaue Fläche falsch berechnet. Ich bin erstmal was einkaufen, überarbeite das nochmal.
So, wieder da.
Der Inhalt der blauen Fläche ist natürlich: [mm] \bruch{1}{n-1}-[ln(x)]^{n}_{n-1}
[/mm]
Und jetzt wirklich das Verhältnis Blau/rot:
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-[ln(x)]^{n}_{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-(ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1}))}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{2}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1) +\bruch{1}{n-1}}
[/mm]
Wenn man hohe Werte einsetzt (hab mal 500 für n genommen, kommt man tatsächlich zur 2.
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Hi,
Habe das jetzt überarbeitet:
steht zwar schon oben, aber hier nochmal gesondert:
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-[ln(x)]^{n}_{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-(ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1}))}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{1}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{2}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1) +\bruch{1}{n-1}}
[/mm]
Wenn man hohe Werte einsetzt (hab mal 500 für n genommen, kommt man tatsächlich zur 2.
Wie kamst du auf den Wert 2?
Wie kann man ln(a+b) umformen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Fr 17.07.2015 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> Habe das jetzt überarbeitet:
>
> steht zwar schon oben, aber hier nochmal gesondert:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n-1}-[ln(x)]^{n}_{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n-1}-(ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1}))}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1)+\bruch{1}{n-1}}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{\bruch{2}{n-1}-ln(n)+\bruch{1}{n}+ln(n-1)}{ln(n)-\bruch{1}{n}-ln(n-1) +\bruch{1}{n-1}}[/mm]
>
> Wenn man hohe Werte einsetzt (hab mal 500 für n genommen,
> kommt man tatsächlich zur 2.
>
> Wie kamst du auf den Wert 2?
>
> Soll ich hier ln(a+b)=ln(a)+ln(b) anwenden?
Das sollst du nicht, und das darfs du nicht, weil es schlimm falsch ist.
Was du tun kannst:
ln(a)-ln(b)=ln(a/b).
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ln(a)-ln(b)=ln(a/b)
a=n
b=n-1
so wird aus dem unteren ln gedrösel:
[mm] ln(\bruch{n}{n-1}) [/mm] oder?
und oben könnte man:
[mm] ln(\bruch{n-1}{n}) [/mm] dann schreiben oder? (jetzt nur die ln()s betrachtet, der rest bleibt erstmal so)
Die frage ist, ob das irgendeinen Mehrwert hat...
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Alsoo:
ln((n-1)/n) sowie ln(n/(n-1)) streben gen 0, nur von unterschiedlichen Seiten.
1/n ist trivial 0, sowie -1/n
das heißt wenn man die 0en einsetzt bleibt stehen:
[mm] \bruch{\bruch{2}{n-1}}{\bruch{1}{n-1}} [/mm] =2
Da 1/n nur gen 0 strebt ist auch kein Fehler drin(z.b. a/0).
ln(n/(n-1) ist das selbe wie ln(1), was 0 ist
Darf man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> ln(a)-ln(b)=ln(a/b)
> a=n
> b=n-1
>
> so wird aus dem unteren ln gedrösel:
>
> [mm]ln(\bruch{n}{n-1})[/mm] oder?
Ja, es gilt [mm] $(\ln n)-(\ln(n-1))=\ln\left(\frac{n}{n-1}\right)$.
[/mm]
> und oben könnte man:
> [mm]ln(\bruch{n-1}{n})[/mm] dann schreiben oder? (jetzt nur die
> ln()s betrachtet, der rest bleibt erstmal so)
Es gilt
[mm] $-[\ln x]_{n-1}^n=\ln\left(\frac{n-1}{n}\right)$.
[/mm]
> Die frage ist, ob das irgendeinen Mehrwert hat...
Ich habe leider noch keinen gefunden... 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sinnlos123!
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n-1}-[ln(x)]^{n}_{n-1}}{ln(n)-\bruch{1}{n}-(ln(n-1)-\bruch{1}{n-1})}[/mm]
Die blaue Fläche hast du korrekt ermittelt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei der roten Fläche ist das [mm] $-\frac{1}{n-1}$ [/mm] am Ende zu viel.
Vielleicht schilderst du einmal deine Idee zur Ermittlung des Flächeninhaltes der roten Fläche.
Meine Vorgehensweise war folgende:
Die Summe der Flächeninhalte von rot und grün ist gegeben durch [mm] $\int_{n-1}^n\frac1x\;dx$.
[/mm]
Der Flächeninhalt der grünen Fläche ist gegeben durch [mm] $\frac1n$.
[/mm]
Der Inhalt der roten Fläche ergibt sich als Differenz [mm] $\left(\int_{n-1}^n\frac1x\;dx\right)-\frac1n$ [/mm] dieser beiden Flächeninhalte.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 17.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
laut meiner Rechnung mittels L'Hospital komme ich auf einen Grenzwert von 1, was auch gut zu meiner unpräzisen Anschauung passt, nach der rote und blaue Fläche für große n "näherungsweise wie zueinander kongruente Dreiecke aussehen" und daher näherungsweise gleiche Fläche besitzen sollten.
Viele Grüße
Tobias
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Ah, jo, hab da irgendwie einen Fehler eingebaut hehe.
Im Anhang komm ich dann auch auf 1,
aber wie wende ich hier l'hopital an?
Sorry, das Bild ist zu fett, hier nur der Link: https://matheraum.de/file/uploads/forum/01062167/forum-i01062167-n001.jpg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Ah, ok, also ich kenn das schon, ich sah da halt jetzt nicht so den Sinn drin, weil da ja immernoch was steht, was ich nicht mal eben "seh".
Aber dann dacht ich an Polynomdivision und dann steht als f'/g'=1+1/x Was den Limes 1 hat.
Kamst du auf das selbe?
Danke nochmal :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Sa 18.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ah, ok, also ich kenn das schon, ich sah da halt jetzt
> nicht so den Sinn drin, weil da ja immernoch was steht, was
> ich nicht mal eben "seh".
>
> Aber dann dacht ich an Polynomdivision und dann steht als
> f'/g'=1+1/x Was den Limes 1 hat.
> Kamst du auf das selbe?
Ja.
Sehr schön gelöst von dir!
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Regel von L'Hospital