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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 20.10.2010 | | Autor: | abcd |
Hallo, ich habe mal wieder eine Integralfrage:
Eigentlich ist bei der Aufgabe noch eine Skizze dabei, aber ich versuch sie so gut wie möglich zu erklären
Also, die Aufgabe lautet man muss den Flächeninhalt von der Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] berechnen. Das Intervall geht von 0 bis b (b ist etwas größer als 1)und es geht nur um die Fläche überhalb der x-Achse.
Als ich diese Aufgabe das erste Mal ausgerechnet habe, habe ich folgende Formel benutzt:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{n}dx}=\bruch{b^{n+1}}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{a^{n+1}}{n+1}
[/mm]
Leider wurde mir im Unterricht gesagt ich dürfe diese Formel nicht benutzen, da wir dies noch nicht hatten. Den anderen Lösungsweg habe ich mir leider nicht aufgeschrieben, aber ich weiß noch, dass es mit der Umkehrfunktion zu tun hat.
Wüsste jemand einen Weg ohne besagte Formel und mithilfe von Umkehrfunktionen? (Die Umkehrfunktion von der Wurzelfunktion wäre dann ja [mm] x^{2}, [/mm] nur wie gehts weiter?)
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 20.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Du hast ein minus Zeichen vergessen zwischen den zwei Termen!
$ [mm] \integral_{a}^{b}{x^{n}dx}=\bruch{b^{n+1}}{n+1}- \bruch{a^{n+1}}{n+1} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo und Glückwunsch, wenn du dir das Berechnen der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen selber erarbeitet hast, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du weißt sicher, wie die Graphen einer Funktion f (hier : Wurzelfunktion) und ihrer Umkehrfinktion [mm] f^{-1} [/mm] (hier : Quadratfunktion) zusammenhängen.
Mach das mal für diesen Funktionsgraphen, auch für die Fläche, für die Achsen und für die Integrationsgrenzen. Auf einmal wird alles ganz einfach.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Hallo Sax,
ich hatte gestern keine Zeit mehr zu antworten.
Leider komme ich trotzdem nicht weiter, könntest du das vllt. etwas konkreter ausführen?
lg, abcd
@Steffi
Ich habe die Mitteilung nicht ganz verstanden, war das Ironie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Dann gehen wir die fünf Schritte gemeinsam durch :
1. Wie hängen die Graphen von f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] und g(x) = [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] zusammen ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Hmmm, ich weiß nicht, ob du das meinst, aber ich versuche es mal:
Also die Graphen sind an sich identisch, nur 90° verschoben, also eine Art Spiegelung ist vorhanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Nein, es ist keine Verschiebung.
Es ist auch keine "Art" Spiegelung, sondern in der Tat eine Geradenspiegelung. Weißt du, an welcher Geraden ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Also, wenn ich jetzt einen Spiegel anlegen würde, dann wäre er an der Winkelhalbierenden f(x)=x, oder?
(Ich bin mir nicht sicher, ob ich immer auf Frage klicken soll, oder auf Mitteilung, damit der Thread nicht untergeht)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
genau.
2. Skizzen anlegen.
Hat fencheltee schon gemacht, bei mir sind es zwei Skizzen.
3. Achsenbezeichnungen und Flächen auch mit spiegeln
4. Integrationsgrenzen eintragen.
Bis gleich, der thread geht schon nicht verloren.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Also, ich habe jetzt zwei Skizzen gezeichnet, so wie ich das verstanden habe, muss ich jetzt folgendes Integral ausrechnen:
[mm] \integral_{\wurzel{b}}^{0}{ x^{2}dx}
[/mm]
Oder liege ich komplett daneben?
@fencheltee:
danke für die Skizze :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
genau so ist es, allerdings sollte die Reihenfolge der Integrationsgrenzen umgekehrt sein.
5. Integral ausechnen ist damit dann auch erledigt.
Gruß Sax.
PS: So sahen meine Skizzen aus :
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Do 21.10.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Also, ich habe jetzt zwei Skizzen gezeichnet, so wie ich
> das verstanden habe, muss ich jetzt folgendes Integral
> ausrechnen:
>
> [mm]\integral_{\wurzel{b}}^{0}{ x^{2}dx}[/mm]
>
> Oder liege ich komplett daneben?
nur ein wenig, die grenzen sind verkehrt herum
nochmal die skizze ein wenig anders:
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit deinem integral hast du die blaue fläche berechnet, die aber keinen interessiert. du willst an die magenta-farbene fläche. also musst du von einem rechteck mit dir bekannter länge und breite dein integral abziehen
>
> @fencheltee:
> danke für die Skizze :)
>
>
gruß tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Aja, okay ich verstehe warum ich die Grenzen andersrum gesetzt habe, ich habe nämlich den linken Teil der Parabel berechnet (der Teil der sich in der negativen Seite der x-Achse befindet).
Muss man denn nicht auch den linken Teil berechnen, denn das ist ja der "gespiegelte" Teil der Wurzelfunktion..
Aber was ich mir noch überlegt habe: Ist das nicht eigentlich egal, die beiden Hälften der Parabel gleich groß sind?
Fragen über Fragen..
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Guten Abend,
> Muss man denn nicht auch den linken Teil berechnen, denn
> das ist ja der "gespiegelte" Teil der Wurzelfunktion..
Nein, das ist doch der gespiegelte Teil des negativen Asts. Du hast die Wurzelfunktion (die übrigens - schon um Funktion zu sein - nur einen Ast hat!) ja an y=x gespiegelt, und nicht etwa um den Ursprung 90° nach links gedreht.
> Aber was ich mir noch überlegt habe: Ist das nicht
> eigentlich egal, die beiden Hälften der Parabel gleich
> groß sind?
Auch wahr. Das ist eigentlich egal.
Aber was ich mich schon frage, seit ich hier mitlese:
Wieso darfst Du [mm] x^2 [/mm] integrieren, [mm] \wurzel{x} [/mm] aber nicht?
Kann es sein, dass Du überhaupt nicht integrieren sollst, sondern über den Limes des Differenzenquotienten arbeiten sollst?
> Fragen über Fragen..
Eben, eben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Do 21.10.2010 | | Autor: | abcd |
Ah okay, jetzt habe ich es verstanden :)
@reverend
wir dürfen die [mm] x^{2} [/mm] Funktion integrieren, weil wir eine feste Formel nur für diese Art von Funktion haben, also nicht die verallgemeinerte (welche im ersten Post geschrieben habe), diese gilt ja für alle x hoch irgendwas typen.
Und diese Formel haben wir noch nicht besprochen, deswegen wollte er das mit einem anderen Lösungsweg haben, also nur mit den schon besprochenen Formeln.
Vielen Dank an alle Mitposter, das hat mir echt weitergeholfen :)
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> Hmmm, ich weiß nicht, ob du das meinst, aber ich versuche
> es mal:
>
> Also die Graphen sind an sich identisch, nur 90°
> verschoben, also eine Art Spiegelung ist vorhanden.
genau, eine spiegelung
hier mal eine skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
rot die wurzelfunktion mit der schraffierten fläche (von x=0 bis x=b (b hier 1.2))
in magenta die funktion [mm] x^2 [/mm] für x>0.. und die schraffierte fläche von x=0 bis x=??
gruß tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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