Integral von betrag < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Do 15.11.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \int_{-\infty}^\infty e^{-|x|-|k|} [/mm] dx |
Ich weiß nicht so recht mit dem Betrag umzugehen, denke an Fallunterscheidung.
[mm] e^{|x|}=\begin{cases} e^{-x} & x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|-|k|} dx=\int\limits_{-\infty}^0 e^{-|x|-|k|} dx+\int\limits_0^{\infty} e^{-|x|-|k|} [/mm] dx = [mm] 2*=\int\limits_{-\infty}^0 e^{-x-|k|} [/mm] dx
für x [mm] \ge [/mm] 0 im letzten schritt..
ich komme mit dem Integral nicht klar, würde mich über Hilfe freuen.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|-|k|}[/mm] dx
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> Ich weiß nicht so recht mit dem Betrag umzugehen, denke an
> Fallunterscheidung.
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> [mm]e^{|x|}=\begin{cases} e^{-x} & x < 0 \\ e^x & x \geq 0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|-|k|} dx=\int\limits_{-\infty}^0 e^{-|x|-|k|} dx+\int\limits_0^{\infty} e^{-|x|-|k|}[/mm]
> dx
>
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> ich komme mit dem Integral nicht klar, würde mich über
> Hilfe freuen.
> lg
Zunächst ist [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|-|k|}[/mm] dx= [mm]e^{-|k|}\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}[/mm] dx
Berechne [mm] \int_{0}^\infty e^{-x} [/mm] dx und [mm] \int_{-\infty}^0 e^{x}dx [/mm] und addiere.
Du kannst das auch so berechnen: [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}[/mm] dx= 2* [mm] \int_{0}^\infty e^{-x} [/mm] dx
Warum ?
FRED
Sollst Du eine Stammfunktion von [mm] e^{-|x|-|k|} [/mm] berechnen oder
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 15.11.2012 | | Autor: | quasimo |
Ja wegen der symmetrie der Funktion ist das klar.
Ich erhalte als ergebnis: 2 [mm] e^{-|y|} [/mm] -1
Ist das korrekt?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ja wegen der symmetrie der Funktion ist das klar.
> Ich erhalte als ergebnis: 2 [mm]e^{-|y|}[/mm] -1
> Ist das korrekt?
> LG
Nicht ganz.
Du hast:
[mm] $\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}dx$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{0}^{n}e^{-x}dx$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\left[-e^{-x}\right]_{0}^{n}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\left[(-e^{-n})-(-e^{-0})\right]$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}\left[(-e^{-n})+1\right]$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}(-e^{-n})+\lim\limits_{n\to\infty}1$
[/mm]
$=0+1$
$=1$
Also:
$ [mm] 2\cdot e^{-|k|}\cdot\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}dx=2\cdot e^{-|k|}\cdot1=\ldots [/mm] $
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Do 15.11.2012 | | Autor: | quasimo |
danke, nice ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke, nice ;)
bitte, marseille ;)
FRED
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