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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | f(x)=(x^²-8)/(x-3)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie bildet man das Integral, wenn es sich um einen Bruch handelt?
Normalerweiße wird aus x^² --> 1/3x^³
aber wenn ich das in der Aufgabe mache, dann habe ich ja einen riesigen Doppelbruch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | $ [mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] $
$ [mm] \integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln|z| [/mm] + C $
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Hallo, danke für deine Hilfe,
aber ich verstehe nicht, wie man dann auf $ [mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] $ kommt und wie ich das dann in die Formel einsetzen kann.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | | (x^²-8) : (x-3) = x+3 (ganzzahlige Teil) |
Den ganzzahligen Teil der Polynomd. hab ich ausgerechnet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
> [mm] (x^2-8):(x-3)=x+3 [/mm] (ganzzahlige Teil)
> Den ganzzahligen Teil der Polynomd. hab ich ausgerechnet
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau. Und dazu gehört nun noch der Rest $1_$ , so dass ich die Funktion wie folgt darstellen kann:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-8}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] x+3+\bruch{1}{x-3}$
[/mm]
Die ersten beiden Terme sollte ja kein Problem darstellen. Und bei dem Bruch wende ich nun die o.g. Formel mit dem [mm] $\ln(...)$ [/mm] an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= [/mm] ln 1/3x^² + 3/2x |
Mussich den ganzen Teil der Polynomdivision in die Formel einsetzen oder was setze ich da ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Die o.g. Formel [mm] $\integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln|z|$ [/mm] wendest Du nur auf den gebrochen-rationalen Rest [mm] $\bruch{1}{x-3}$ [/mm] mit $z \ := \ x-3$ an.
Die anderen beiden Term $x+3_$ integrierst Du wie gehabt mit der  Potenzregel ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | $ [mm] \integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln|z| [/mm] $=ln(x-3)+1/4 [mm] x^4
[/mm]
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Gehört das dann so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Nochmal ... meine Formel bezieht sich nur auf [mm] $\integral{\bruch{1}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|x-3|$ [/mm] .
Und nun musst Du ja noch $x+3_$ integrieren und dazu addieren.
Schließlich heißt unsere Aufgabe nach der Umformung:
[mm] $\integral{\bruch{x^2-8}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x+3+\bruch{1}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x+3 \ dx}+\integral{\bruch{1}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | [mm] [1/2x^2+3x+ln [/mm] x-3]
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Bei ln |x-3| heißen die Striche was besonderes?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Nun stimmt es so!
Diese Striche sind Betragsstriche, da die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] schließlich nur für positive Werte definiert ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
a= 3
b = 6 |
Wo setze ich denn welche Grenze ein
bei:
1/2 [mm] x^2+3x+ln [/mm] x-3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Die Grenzen werden wie gehabt eingesetzt ("obere Grenze minus untere Grenze"):
[mm] $\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_a^b [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$
Hier also genauso: [mm] $\integral_3^6{\bruch{x^2-8}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \bruch{1}{2}x^2+3x+\ln|x-3| \ \right]_3^6 [/mm] \ = \ ...$
Allerdings handelt es sich hier um ein sogenanntes "uneigentliches Integral" Integral, weil die untere Grenze $a \ = \ 3$ gar nicht Bestandteil des Definitionsbereiches für [mm] $\ln|x-3|$ [/mm] ist.
Von daher müssen wir hier eine Grenzwertbetrachtung einfühen:
[mm] $\integral_3^6{\bruch{x^2-8}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow3}\integral_a^6{\bruch{x^2-8}{x-3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow3}\left[ \ \bruch{1}{2}x^2+3x+\ln|x-3| \ \right]_a^6 [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow3}\left[\left(\bruch{1}{2}*6^2+3*6+\ln|6-3|\right)-\left(\bruch{1}{2}a^2+3*a+\ln|a-3|\right)\right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= [/mm] a .. |
Was mach ich denn mit dem a? Hab so eine Grenzwertbetrachtung noch nie gemacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Da der Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 3$ weder zum Definitionsbereich unser zu integrierenden Funktion (Polstelle) noch zur Stammfunktion (wegen [mm] $\ln|x-3|$) [/mm] gehört, ersetzen wir diesen Integrationsgrenze durch eine beliebig gewählte Variable.
Und nach dem Einsetzen nähern wir uns gedanklich mit dieser Variable $a_$ dem gewünschten Wert $3_$ an:
[mm] $\limes_{a\rightarrow3}\left(\bruch{1}{2}*a^2+3\cdot{}a+\ln|a-3|\right)$
[/mm]
Dabei sind die Terme [mm] $\bruch{1}{2}*a^2+3\cdot{}a$ [/mm] absolut problemlos. Hier kann ich einfach auch den Wert $3_$ einsetzen:
[mm] $\limes_{a\rightarrow3}\left(\bruch{1}{2}*a^2+3\cdot{}a\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*3^2+3\cdot{}3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{27}{2} [/mm] \ = \ 13.5$
Wenn ich mich aber für [mm] $\limes_{a\rightarrow3}\ln|a-3|$ [/mm] mit dem $a_$ immer näher an die $3_$ annähere, wird das Argument des ln nahezu Null.
Was bedeutet das dann für den Wert [mm] "$\ln(\approx [/mm] 0)$" ? Gegen welchen Wert strebt das?
Gibt es also einen Grenzwert für das gesamte Integral bzw. die zu untersuchende Fläche?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
Ich weiß nicht, ob ich die richtige Schreibweiße verwendet habe:
[mm] 1/2x^2 [/mm] + 3x + ln x-3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo PlanlosX!
Hier kommt man auch ohne Polynomdivision aus, wenn man zunächst geschickt umformt:
[mm] $\bruch{x^2-8}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-8-1+1}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-9+1}{x-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-9}{x-3}+\bruch{1}{x-3} [/mm] \ = \ ...$
Und nun im Zähler des 1. Bruches die 3. binomische Formel anwenden und kürzen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Sa 28.04.2007 | | Autor: | PlanlosX |
Kann sein, dass ich grad voll auf dem Schlauch stehe, aber ich kann das trotzdem noch nicht aufleiten.
Wo weg kommen denn die -1 und +1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Planlos!
Das $... \ - 1 + 1$ habe ich im Zähler einfach dazu geschrieben. Denn hier habe ich ja lediglich ein Null addiert, da sich $-1_$ und $+1_$ gegenseitig aufheben.
Dies habe ich gemacht, um im Zähler auf die gewünschte binomische Formel [mm] $x^2-9$ [/mm] zu kommen.
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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