Integral von unendlich < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Kann es sein, dass das Integral der Funktion [mm] f(x)=\infty [/mm] :
I= [mm] \integral [/mm] (f(x) dx) = 0 ist??
Man kann doch Unendlichkeitsstellen einer Funktion beliebig abändern, ohne den Wert des Integrals zu verändern. Ist also somit das Integral der Funktion unendlich über den
[mm] \IR^n [/mm] wirklich Null?
Vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:16 Di 28.06.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo Holger
zur Funktion f(x) = [mm] \infty [/mm] findest du die Stammfunktion F(x) = [mm] \infty [/mm] x
Nun haben wir den Hauptsatz der Integralrechnung [mm] \int_a^b [/mm] f(x)dx = F(b) - F(a)
in unsrem Fall: [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \infty [/mm] dx = [mm] [\infty [/mm] x [mm] ]_{-\infty}^{\infty} [/mm] = [mm] \infty^2 [/mm] + [mm] \infty^2 [/mm] = [mm] 2\infty^2 [/mm] , also sozusagen wieder [mm] \infty
[/mm]
Wie du siehst, entspricht das auch exakt der Fläche unter dem Graphen, schon alleine diese geometrische Überlegung hätte dir eigentlich sagen sollen, dass das Integral nicht Null sein kann.
Hast dir das wohl einfach nich so ganz genau angeschaut ;)
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Hallo Holger, hallo kuroiya,
Ihr seid ja ganz schön lustig!
Oder war das gar kein Scherz?
>
> zur Funktion f(x) = [mm]\infty[/mm]
Ich weiß nicht, ob es so eine "Funktion" in irgendeinem exotischen Teilgebiet der Mathematik gibt, man muß ja mit so allerlei rechnen...
Was ich aber weiß, ist: bei Eurem F handelt es sich keinesfalls um eine Funktion von [mm] \IR \to \IR. [/mm] Es ist nämlich [mm] \infty [/mm] kein Element von [mm] \IR.
[/mm]
Von daher kann man es sich sparen, Definitionen und Sätze der reellen Analysis darauf loszulassen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Di 28.06.2005 | | Autor: | kuroiya |
Nun, wir können das ganze Prozedere natürlich auch mit einem beliebigen f(x) = c, c = const. durchführen, im Limes c [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Dann dürften auch die Mathematiker die Aufgabe lesen können, ohne sich über Kreislaufprobleme Sorgen machen zu müssen ;)
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> Nun, wir können das ganze Prozedere natürlich auch mit
> einem beliebigen f(x) = c, c = const. durchführen, im
> Limes c [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
Oh weh, oh weh, wenn Physiker mit dem Limes im Anschlag herumlaufen, krieg' ich ein leicht nervöses Flackern in den Augen!!! Der Adrenalinspiegel steigt und ich bin bereit zur Flucht...
> Dann dürften auch die
> Mathematiker die Aufgabe lesen können, ohne sich über
> Kreislaufprobleme Sorgen machen zu müssen
Um meinen Kreislauf müssen wir uns zumindest nicht sorgen. Ich hab' einen Physiker zu Hause. Das trainiert und härtet ab!
Gruß v. Angela
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> Hallo!
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> Kann es sein, dass das Integral der Funktion [mm]f(x)=\infty[/mm] :
>
> I= [mm]\integral[/mm] (f(x) dx) = 0 ist??
>
> Man kann doch Unendlichkeitsstellen einer Funktion beliebig
> abändern, ohne den Wert des Integrals zu verändern. Ist
> also somit das Integral der Funktion unendlich über den
> [mm]\IR^n[/mm] wirklich Null?
>
> Vielen Dank im Voraus!!
Also erstmal ist das keine Funktion...
Der Funken Wahrheit, der dahinter steckt, ist, daß man bei Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf Nullmengen beliebige Änderungen vornehmen kann, ohne den Wert des Integrals zu ändern.
Eine Nullmenge ist eine Menge mit Maß 0, d.h. die Menge kann höchstens abzählbar viele Punkte enthalten, insbesondere ist aber jedes (nicht einpunktige) reelle Intervall keine Nullmenge, weshalb deine "Definition" einer "Funktion", wie auch immer begründet, nicht den Hauch einer Chance hätte, Lebesgue-integrierbar zu sein.
(Ich denke, das Riemannintegral drauf loszulassen, können wir uns sparen, oder...  )
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also, ich bin der Meinung, dass ein Punkt zur Nullmenge gehört. Ebenso die Vereinigung unedlich vieler Nullmengen!!!
Woraus zu schließen ist, dass [mm] \IQ [/mm] eine Nullmenge ist.
Aber zu meinem Problem
Vielleicht versteht man mein Problem nicht ganz richtig. Ich betrachte die Funktion
f: [mm] \IR \to [/mm] IR [mm] \cup [/mm] {+ [mm] \infty [/mm] } mit f(x)= [mm] \infty [/mm]
Diese Funktion gehört zur Klasse der Baireschen-Funktionen.
Aber was ist eben das Integral über diese Funktion?
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Richtig, [mm] \IQ [/mm] ist eine Nullmenge.
[mm] \IQ [/mm] ist aber auch abzählbar, im Gehgensatz zu [mm] \IR.
[/mm]
Und ich habe nie behauptet, daß einnzelne Punkte keine Nullmengen sind.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo Christian!
Natürlich hast du Recht, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist.
Aber ich liege doch ganz richtig, wenn ich behaupte, dass die Funktion f(x)= + [mm] \infty
[/mm]
zur Baireschen Klasse zählt (also + unendlich zu B+)und diese doch integrierbar sind, oder?
Also muß doch das Integral über diese Funktion eine Lösung besitzen.
Viele Grüße!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 29.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Aber ich liege doch ganz richtig, wenn ich behaupte, dass
> die Funktion f(x)= + [mm]\infty[/mm]
> zur Baireschen Klasse zählt (also + unendlich zu B+)und
> diese doch integrierbar sind, oder?
Also: zu dieser Klasse gehören die Funktionene, die durch unten durch stetige Funktionen annähern kann,. oder? Und das Integral ist dann für eine (dann jede) solceh Fogle einfach die Folde der Integrale zu berechnen.
> Also muß doch das Integral über diese Funktion eine Lösung
> besitzen.
Ja, und das dürfte unedndlich sein: du kannst doch sicher stetige Funktionen basteln, die an jedem Punkte gen Unendlich gehen - und deren Integrale auch gegen Unendlich gehen, oder? (Obacht: die stetigen Funktionen haben kompakten Träger, oder?) also einfach Inetgral und oberen Wert gleichzeitig nach oben laufen lassen ... Es könnte abe durchaus sein, das man nur Funktionen als inetgrierbar akzeptiert, falls das Inetgral kleiner unendlich ist - da muss man aufpassen. Apropos: welches Lehrbuch verwendet eigentlich diese Bairesche (sp?) Klasse? Forster?
Desweiteren: es ist durchaus üblich inder Integrationstheorie Funktionen zuzulassen, die nach [m]\overline{\IR}[/m] gehen. Was man mit denen anstellt, ist eine andere Frage. (Der HDI woanders im Thread ist aber ... ganz falsch.)
SEcki
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