Integralberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 26.01.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Berechne für [mm] f(x,y)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2-y^2}} [/mm] und [mm] D=\{(x,y)|0
[mm] \integral_{D}^{}{f d\lambda^2} [/mm] |
hallo,
es ist [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi
[/mm]
setzte dies in f und erhalte dann [mm] f=\bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}
[/mm]
in der lösung steht dann:
[mm] \integral_{D}^{}{f d\lambda^2}=\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-y^2-x^2}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r \bruch{1}{{1-r^2}}dr}
=\pi\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}dr^2}
=\pi\integral_{0}^{1}{\bruch{1}\wurzel{1-r}}dr }
[/mm]
[mm] =-2\pi\wurzel{1-r}|^1_0=2\pi
[/mm]
Meine Frage nun: waarum steht beim doppelintegral noch ein "r" und warum wird zweimal nach r integriert und nicht nach [mm] \phi? [/mm]
Warum ist beim Doppelintegral die Wurzel aufeinmal weg?
Ich habe es anderes versuch:
[mm] \integral_{D}^{}{f d\lambda^2}=\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-y^2-x^2}} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{r \bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}drd\phi}} [/mm] (beim Intergal habe ich auch mit r multipliziert, da es schon in vielen bsp auch benutzt wurde, aber leider weiß ich nicht woher es stammt, ich hoffe ihr könnt es mir sagen)
dann habe das innere Integral mit substitution berechnet:
[mm] u=1-r^2 \rightarrow [/mm] du=-2rdr
...= [mm] -\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}=[-\bruch{1}{2}\cdot 2\wurzel{1-r^2}]^1_0=1
[/mm]
[mm] ...=\integral_{0}^{2\pi}{1d\phi}=2\pi
[/mm]
es kommt auch dasselbe ergebnis(kann natürlich auch zufällig sein), ist es richtig wie ich es berechnet habe?
sind die Integralgrenzen immer so def wenn man die polarkoordinaten verwendet. wenn nicht, wie bestimmt man sie allgemein?
ich danke schonmal im voraus für die beantwortung meiner fragen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Di 27.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> hallo,
>
> es ist [mm]x=rcos\phi, y=rsin\phi[/mm]
>
> setzte dies in f und erhalte dann
> [mm]f=\bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}[/mm]
>
> in der lösung steht dann:
> [mm]\integral_{D}^{}{f d\lambda^2}=\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-y^2-x^2}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r \bruch{1}{{1-r^2}}dr}
=\pi\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}dr^2}
=\pi\integral_{0}^{1}{\bruch{1}\wurzel{1-r}}dr }[/mm]
>
> [mm]=-2\pi\wurzel{1-r}|^1_0=2\pi[/mm]
>
> Meine Frage nun: waarum steht beim doppelintegral noch ein
> "r" und warum wird zweimal nach r integriert und nicht nach
> [mm]\phi?[/mm]
>
> Warum ist beim Doppelintegral die Wurzel aufeinmal weg?
Vergiss die Lösung einfach.
[Ich schätze, dass die Wurzel vergessen wurde. Außerdem integrierst du nach [mm] $r^2=:u$ [/mm] und nicht zeimal nach r]
>
> Ich habe es anderes versuch:
>
> [mm]\integral_{D}^{}{f d\lambda^2}=\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-y^2-x^2}} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{1}{r \bruch{1}{\wurzel{1-r^2}}drd\phi}}[/mm]
> (beim Intergal habe ich auch mit r multipliziert, da es
> schon in vielen bsp auch benutzt wurde, aber leider weiß
> ich nicht woher es stammt, ich hoffe ihr könnt es mir
> sagen)
Das ist die Funktionaldeterminante der verwendeten Transformation.
>
> dann habe das innere Integral mit substitution berechnet:
> [mm]u=1-r^2 \rightarrow[/mm] du=-2rdr
> ...= [mm]-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}=[-\bruch{1}{2}\cdot 2\wurzel{1-r^2}]^1_0=1[/mm]
>
> [mm]...=\integral_{0}^{2\pi}{1d\phi}=2\pi[/mm]
>
> es kommt auch dasselbe ergebnis(kann natürlich auch
> zufällig sein), ist es richtig wie ich es berechnet habe?
Ja.
> sind die Integralgrenzen immer so def wenn man die
> polarkoordinaten verwendet. wenn nicht, wie bestimmt man
> sie allgemein?
Definiere [mm] $\Phi: $(0,\infty)\times(0,2\pi)\to \mathbb{R}^2, (r,\phi)\mapsto(r \cos\phi,r\sin\phi)$.
[/mm]
Finde eine Menge [mm] $A\subset (0,\infty)\times(0,2\pi)$ [/mm] mit [mm] $\phi(A)=D\setminus [/mm] N$, wobei N eine Nullmenge ist.
> ich danke schonmal im voraus für die beantwortung meiner
> fragen.
>
Liebe Grüße
|
|
|
|
