Berechne das Integral [mm] \int \bruch{1}{a x^2 +bx + c} [/mm]
Hallo!
Kann mir jemand einen Tipp zur Bearbeitung dieses Integrals geben? Muss ich mit der Substitutionsregel herangehen? Ich schaffe den Ansatz leider nicht, und komme daher nicht weiter!
Da steht in meiner Formelsammlung echt ein wirklich "nettes" Ergebnis ...
Zunächst einmal musst Du eine Fallunterscheidung machen, ob der Nenner dieses Bruches keine, eine (doppelte) oder zwei reelle Lösungen hat.
Bei zwei reellen Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] (Ermittlung z.B. mit ABC-Formel oder p/q-Formel) steht nun eine Partialbruchzerlegung an.
Bei einer (doppelten) Nullstelle lässt sich dieser Bruch auch darstellen als [mm] $\bruch{1}{d*(x+e)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{d}*(x+e)^{-2}$ [/mm] . Dies kann nach der Potenzregel integriert werden.
Bei keiner reellen Nullstelle musst Du den Bruch auf die Form [mm] $\bruch{1}{d*\left[1+(e*x+f)^2\right]}$ [/mm] bringen.
Anschließend Substitution und Lösung mit der Stammfunktion [mm] $\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(z)$ [/mm] .
ABC-Formel